ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 23.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении \(2 : 7\). Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен \(108 \, \text{см}\).

1. Периметр прямоугольника:
\( P = 2 \cdot (AD + BC) = 108 \, (\text{см}) \Rightarrow AD + BC = 54 \, (\text{см}) \)

2. Отношение диагоналей прямоугольника по условию:
\( \frac{AD}{BC} = \frac{2}{7} \Rightarrow AD = \frac{2}{7} \cdot BC \)

3. Подставляем \( AD = \frac{2}{7} \cdot BC \) в уравнение \( AD + BC = 54 \):
\( \frac{2}{7} \cdot BC + BC = 54 \Rightarrow \frac{9}{7} \cdot BC = 54 \Rightarrow BC = 54 \cdot \frac{7}{9} = 42 \, (\text{см}) \)

4. Находим \( AD \):
\( AD = \frac{2}{7} \cdot BC = \frac{2}{7} \cdot 42 = 12 \, (\text{см}) \)

5. Площадь прямоугольника:
\( S = AD \cdot BC = 12 \cdot 42 = 504 \, (\text{см}^2) \)

1. Периметр прямоугольника \( P \) определяется формулой:
\( P = 2 \cdot (AD + BC) \). По условию, периметр равен \( 108 \, (\text{см}) \):
\( 2 \cdot (AD + BC) = 108 \Rightarrow AD + BC = 54 \, (\text{см}) \).

2. Отношение сторон прямоугольника задано как \( \frac{AD}{BC} = \frac{2}{7} \), что означает:
\( AD = \frac{2}{7} \cdot BC \).

3. Подставляем выражение для \( AD \) в уравнение \( AD + BC = 54 \):
\( \frac{2}{7} \cdot BC + BC = 54 \). Объединяем слагаемые:
\( \left( \frac{2}{7} + 1 \right) \cdot BC = 54 \Rightarrow \frac{9}{7} \cdot BC = 54 \).

4. Находим значение \( BC \):
\( BC = 54 \cdot \frac{7}{9} = 42 \, (\text{см}) \).

5. Вычисляем \( AD \) с помощью соотношения \( AD = \frac{2}{7} \cdot BC \):
\( AD = \frac{2}{7} \cdot 42 = 12 \, (\text{см}) \).

6. Площадь прямоугольника \( S \) вычисляется как произведение его сторон:
\( S = AD \cdot BC = 12 \cdot 42 = 504 \, (\text{см}^2) \).

7. Таким образом, площадь прямоугольника равна \( 504 \, (\text{см}^2) \).