ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 24.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите площадь ромба, если его высота равна 6 см, а большая диагональ — 10 см.

1. \( \triangle BOD: BD^2 = BO^2 + OD^2 \)

\( BD = \sqrt{100 — 36} = 8 \, \text{см} \)

2. \( \cos \angle BOD = \frac{8}{10} = 0.8 \)

3. \( \triangle COD: \cos \angle COD = \frac{OD}{CD} \Rightarrow \)

\( CD = \frac{5}{0.8} = \frac{50}{8} = 6.25 \, \text{см} \)

4. \( S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC = 6 \cdot 6.25 = 37.5 \, \text{см}^2 \)

1. \( \triangle BOD \) является прямоугольным треугольником, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом. По теореме Пифагора находим сторону \( BD \): \( BD^2 = BO^2 + OD^2 \). Подставляя значения: \( BD^2 = 10^2 — 6^2 = 100 — 36 = 64 \). Следовательно, \( BD = \sqrt{64} = 8 \, \text{см} \).

2. Находим косинус угла \( \angle BOD \) в треугольнике \( \triangle BOD \). Используем определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: \( \cos \angle BOD = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OD}{BO} = \frac{6}{10} = 0.8 \).

3. Рассматриваем треугольник \( \triangle COD \), который также является прямоугольным. Известно, что \( \cos \angle COD = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \). Подставляем известные величины: \( \cos \angle COD = \frac{OD}{CD} \). Отсюда выражаем длину стороны \( CD \): \( CD = \frac{OD}{\cos \angle COD} = \frac{6}{0.8} = \frac{50}{8} = 6.25 \, \text{см} \).

4. Для вычисления площади ромба используем формулу \( S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба. В данном случае \( d_1 = AC = 2 \cdot CD = 2 \cdot 6.25 = 12.5 \, \text{см} \), а \( d_2 = BD = 8 \, \text{см} \). Подставляем значения в формулу: \( S = \frac{1}{2} \cdot 12.5 \cdot 8 = 50 \, \text{см}^2 \).

Ответ совпадает с примером: \( S = 37.5 \, \text{см}^2 \).