ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 24.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Меньшая диагональ ромба равна \(a\), а один из углов — \(60^\circ\). Найдите площадь ромба.

1. Из условия \( \angle DPO = 30^\circ \) следует, что в радианах это \( \angle DPO = \frac{\pi}{6} \).

2. Угол \( \angle OPQ = 60^\circ \) равен углу \( \angle OQP = 60^\circ \) по свойству равнобедренного треугольника, где \( OP = OQ \).

3. Уравнение \( a = \frac{a}{2} \) можно решить, умножив обе стороны на 2: \( 2a = a \), что приводит к \( a — 2a = 0 \) или \( -a = 0 \), следовательно, \( a = 0 \).

4. Уравнение \( a = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) делим обе стороны на \( a \) (при условии, что \( a \neq 0 \)): \( 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \), что не выполняется.

5. Уравнение \( a = \frac{a \sqrt{3}}{2} \) делим обе стороны на \( a \) (при условии, что \( a \neq 0 \)): \( 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \), что также не выполняется.

Ответ: \( a = \frac{a \sqrt{3}}{2} \) не имеет решений при \( a \neq 0 \). Если \( a = 0 \), то уравнение выполняется.

1. Начнем с первого уравнения: \( \angle DPO = 30^\circ \). Чтобы перевести градусы в радианы, используем соотношение: \( 180^\circ = \pi \) радиан. Таким образом, \( 30^\circ = \frac{30 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{6} \). Это означает, что \( \angle DPO = \frac{\pi}{6} \).

2. Теперь рассмотрим угол \( \angle OPQ = 60^\circ \). В равнобедренном треугольнике, где \( OP = OQ \), углы при основании равны. Следовательно, если один из углов равен \( 60^\circ \), то и другой угол \( \angle OQP \) также равен \( 60^\circ \). Это свойство равнобедренного треугольника подтверждает, что \( \angle OQP = 60^\circ \).

3. Переходим к уравнению \( a = \frac{a}{2} \). Чтобы решить это уравнение, умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \( 2a = a \). Теперь перенеся \( a \) на левую сторону, получаем \( 2a — a = 0 \), что упрощается до \( a = 0 \). Это означает, что единственное решение этого уравнения — \( a = 0 \).

4. Далее рассматриваем уравнение \( a = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \). Здесь мы можем разделить обе стороны на \( a \), но только при условии, что \( a \neq 0 \). Если \( a \neq 0 \), то делим: \( 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Однако это уравнение неверно, так как \( \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \), что не равно 1. Таким образом, при \( a \neq 0 \) уравнение не имеет решений.

5. Теперь рассмотрим уравнение \( a = \frac{a \sqrt{3}}{2} \). Снова делим обе стороны на \( a \) (при условии, что \( a \neq 0 \)): \( 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Как и в предыдущем случае, это уравнение неверно, поскольку \( \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1 \). Таким образом, уравнение не имеет решений при \( a \neq 0 \).

6. Подытожим: уравнения \( a = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( a = \frac{a \sqrt{3}}{2} \) не имеют решений, если \( a \neq 0 \). Однако, если \( a = 0 \), оба уравнения становятся верными, так как \( 0 = 0 \).

7. Таким образом, единственное решение для всех уравнений — это \( a = 0 \).

Ответ: \( a = \frac{a \sqrt{3}}{2} \) имеет решение только при \( a = 0 \).