ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 24.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что из всех параллелограммов со сторонами \(a\) и \(b\) наибольшую площадь имеет прямоугольник.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле \( S = a \cdot h \), где \( a \) — основание, а \( h \) — высота. Площадь прямоугольника определяется как \( S = a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — его стороны.

1. Угол между сторонами прямоугольника равен \( 90^\circ \), что дает максимальную площадь по сравнению с другими параллелограммами с одинаковыми основаниями \( a \) и \( b \).
2. В прямоугольнике высота \( h \) равна второй стороне \( b \), следовательно, площадь равна \( S = a \cdot b \).
3. Для любого другого параллелограмма с такими же сторонами \( a \) и \( b \) угол между сторонами меньше \( 90^\circ \), что приводит к меньшей высоте \( h < b \). Площадь такого параллелограмма будет меньше \( S = a \cdot b \).
4. Максимальная площадь среди всех параллелограммов с одинаковыми сторонами \( a \) и \( b \) достигается именно у прямоугольника.
5. Таким образом, прямоугольник обладает наибольшей площадью среди всех параллелограммов с одинаковыми основаниями \( a \) и \( b \), что и требовалось доказать.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле \( S = a \cdot h \), где \( a \) — основание, а \( h \) — высота, опущенная на это основание. Площадь прямоугольника, в свою очередь, определяется как \( S = a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — его стороны.

1. Рассмотрим параллелограмм с основаниями \( a \) и \( b \). Высота \( h \) зависит от угла между сторонами. Если угол между сторонами равен \( 90^\circ \), то высота \( h \) достигает максимального значения, равного \( b \). Это означает, что при таком угле площадь параллелограмма будет максимальной.

2. Для прямоугольника угол между сторонами всегда равен \( 90^\circ \). Это свойство обеспечивает, что высота \( h \) равна второй стороне прямоугольника, то есть \( h = b \). Таким образом, площадь прямоугольника рассчитывается как \( S = a \cdot b \).

3. Теперь рассмотрим любой другой параллелограмм, имеющий те же стороны \( a \) и \( b \), но угол между ними не равен \( 90^\circ \). В этом случае высота \( h \) будет меньше, чем \( b \), поскольку высота всегда опускается перпендикулярно к основанию. Это приводит к тому, что площадь такого параллелограмма будет вычисляться по формуле \( S = a \cdot h \), где \( h < b \). Следовательно, \( S < a \cdot b \). 4. Применяя теорему о максимуме площади для фигуры с фиксированными основаниями, можно утверждать, что среди всех параллелограммов с одинаковыми основаниями \( a \) и \( b \) максимальная площадь будет у прямоугольника, так как только в этом случае высота достигает своего максимума. 5. Таким образом, мы можем заключить, что прямоугольник имеет наибольшую площадь среди всех параллелограммов с одинаковыми основаниями \( a \) и \( b \). Это утверждение подтверждается тем, что при других углах между сторонами высота всегда будет меньше, что приводит к уменьшению площади. Мы доказали, что прямоугольник действительно обладает наибольшей площадью среди всех параллелограммов, имеющих фиксированные стороны \( a \) и \( b \), что и требовалось доказать.