ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 24.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагональ параллелограмма, равная \(18 \, \text{см}\), перпендикулярна одной из сторон и образует угол \(30^\circ\) с другой стороной. Найдите площадь параллелограмма.

1. Диагональ параллелограмма равна \( 18 \, (\text{см}) \) и перпендикулярна одной из сторон. Пусть диагональ \( BD = 18 \, (\text{см}) \).

2. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABD \), где \( \angle ABD = 30^\circ \):
По определению тангенса угла:
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AD}{AB} \). Следовательно:
\( \tan 30^\circ = \frac{AD}{18} \Rightarrow AD = 18 \cdot \tan 30^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \, (\text{см}) \).

3. Площадь параллелограмма вычисляется как произведение основания на высоту:
\( S = AB \cdot AD \). Подставляем значения \( AB = 18 \, (\text{см}) \) и \( AD = 6\sqrt{3} \, (\text{см}) \):
\( S = 18 \cdot 6\sqrt{3} = 108\sqrt{3} \, (\text{см}^2) \).

4. Таким образом, площадь параллелограмма равна \( 108\sqrt{3} \, (\text{см}^2) \).

1. Шаг 1: Анализ задачи и заданных данных
— Диагональ параллелограмма \( BD = 18 \, (\text{см}) \).
— Диагональ перпендикулярна одной из сторон, например, \( AB \).
— Угол между диагональю \( BD \) и стороной \( AB \) равен \( 30^\circ \).

2. Шаг 2: Определение высоты параллелограмма
В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABD \), где \( \angle ABD = 30^\circ \):
Высота \( AD \) — это противолежащий катет к углу \( 30^\circ \). По определению тангенса угла:
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AD}{AB} \). Следовательно:
\( \tan 30^\circ = \frac{AD}{18} \Rightarrow AD = 18 \cdot \tan 30^\circ \).
Известно, что \( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \), поэтому:
\( AD = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \, (\text{см}) \).

3. Шаг 3: Вычисление площади параллелограмма
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
\( S = \text{основание} \cdot \text{высота} \). Здесь основание \( AB = 18 \, (\text{см}) \) и высота \( AD = 6\sqrt{3} \, (\text{см}) \):
\( S = AB \cdot AD = 18 \cdot 6\sqrt{3} = 108\sqrt{3} \, (\text{см}^2) \).

4. Шаг 4: Проверка результатов
— Диагональ \( BD \) действительно перпендикулярна стороне \( AB \), так как \( \triangle ABD \) является прямоугольным.
— Высота \( AD \) найдена корректно с использованием тригонометрического соотношения.

5. Шаг 5: Заключение
Таким образом, площадь параллелограмма равна \( 108\sqrt{3} \, (\text{см}^2) \).

Ответ:
\(
108\sqrt{3}
\)