ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 24.7 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Стороны параллелограмма равны \(a\) и \(b\), его острый угол равен \(\alpha\). Найдите площадь параллелограмма.

1. В параллелограмме стороны равны \( a \) и \( b \), а острый угол между ними равен \( \alpha \).

2. Высота \( BH \), опущенная на сторону \( AD \), вычисляется по формуле:
\( BH = a \sin \alpha \).

3. Площадь параллелограмма вычисляется как произведение основания на высоту:
\( S = AD \cdot BH = b \cdot (a \sin \alpha) = ab \sin \alpha \).

4. Ответ: \( S = ab \sin \alpha \).

1. В параллелограмме стороны равны \( a \) и \( b \), а острый угол между ними равен \( \alpha \). Это означает, что длины двух соседних сторон параллелограмма заданы, а также известен угол между ними. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны, а противоположные углы равны.

2. Для нахождения площади параллелограмма используется формула:
\( S = \text{основание} \cdot \text{высота} \). Основанием в данном случае будет сторона \( AD \), равная \( b \), а высотой — перпендикуляр, опущенный из точки \( B \) на сторону \( AD \), который обозначается как \( BH \). Таким образом, чтобы найти площадь, сначала нужно вычислить высоту \( BH \).

3. Высота \( BH \) находится с использованием тригонометрии. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABH \), где:
— гипотенуза \( AB = a \);
— угол \( \angle ABH = \alpha \);
— катет \( BH \) является противолежащим углу \( \alpha \).

По определению синуса, синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\( \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{a} \).

Отсюда выражаем высоту \( BH \):
\( BH = a \sin \alpha \).

4. Теперь, зная высоту \( BH \) и основание \( AD \), можно найти площадь параллелограмма. Подставляем найденное значение высоты \( BH \) в формулу площади:
\( S = AD \cdot BH \).

Так как \( AD = b \), а \( BH = a \sin \alpha \), то:
\( S = b \cdot (a \sin \alpha) \).

5. Перемножаем \( b \) и \( a \sin \alpha \):
\( S = ab \sin \alpha \).

6. Таким образом, площадь параллелограмма равна \( S = ab \sin \alpha \).