ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 24.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен \(60^\circ\). Найдите площадь параллелограмма, если его высоты равны \(8 \, \text{см}\) и \(12 \, \text{см}\).

1. В треугольнике \( \triangle BHK \):
\( \tan 60^\circ = \frac{BK}{BH} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \).

2. Основание \( BC \):
\( BC = \frac{BH}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \, (\text{см}) \).

3. Площадь параллелограмма:
\( S = BC \cdot BK = \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot 12 = \frac{192\sqrt{3}}{3} = 64\sqrt{3} \, (\text{см}^2) \).

Ответ: \( 64\sqrt{3} \, (\text{см}^2) \).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BHK \), где высоты \( BH \) и \( BK \) проведены из вершины тупого угла параллелограмма. Угол между этими высотами равен \( 60^\circ \). По условию, высота \( BH = 8 \, (\text{см}) \), а высота \( BK = 12 \, (\text{см}) \).

2. По определению тангенса угла:
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \). В данном случае:
\( \tan 60^\circ = \frac{BK}{BH} \). Подставляем значения:
\( \tan 60^\circ = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \).

3. Убедимся, что геометрическая конфигурация соответствует условиям. В прямоугольном треугольнике с углом \( 60^\circ \) соотношение сторон задается через синус и косинус этого угла. Напомним, что:
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

4. Найдем основание \( BC \) параллелограмма. Основание \( BC \) связано с высотой \( BH \) через синус угла \( 60^\circ \):
\( BC = \frac{BH}{\sin 60^\circ} \). Подставляем известные значения:
\( BC = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \).

5. Упростим выражение для \( BC \):
\( BC = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \). Избавимся от иррациональности в знаменателе:
\( BC = \frac{16\sqrt{3}}{3} \, (\text{см}) \).

6. Теперь вычислим площадь параллелограмма. Формула площади параллелограмма:
\( S = BC \cdot BK \), где \( BC \) — основание, а \( BK \) — высота. Подставим значения:
\( S = \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot 12 \).

7. Упростим выражение для площади:
\( S = \frac{16 \cdot 12 \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{192\sqrt{3}}{3} \).

8. Выполним деление:
\( S = 64\sqrt{3} \, (\text{см}^2) \).

Ответ: \( 64\sqrt{3} \, (\text{см}^2) \).