ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна \(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\).

В равностороннем треугольнике высота делит его на два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора высота \( AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} \). Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).

Рассмотрим равносторонний треугольник \( \triangle ABC \) со стороной \( a \).

1. В равностороннем треугольнике все три стороны равны, то есть \( AB = AC = BC = a \). Высота \( AH \) опускается из вершины \( A \) на основание \( BC \), деля его пополам. Обозначим точки пересечения высоты и основания как \( H \). Тогда \( BH = HC = \frac{a}{2} \).

2. Высота \( AH \) образует с основанием \( BH \) и стороной \( AB \) прямоугольный треугольник \( \triangle ABH \). В этом треугольнике гипотенуза \( AB \) равна \( a \), один катет \( BH \) равен \( \frac{a}{2} \), а второй катет \( AH \) — это искомая высота. Применим теорему Пифагора:
\(
AB^2 = BH^2 + AH^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + AH^2
\)
Теперь раскрываем квадрат \( BH \):
\(
a^2 = \frac{a^2}{4} + AH^2
\)
Переносим \( \frac{a^2}{4} \) влево:
\(
AH^2 = a^2 — \frac{a^2}{4}
\)
Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю:
\(
AH^2 = \frac{4a^2}{4} — \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}
\)
Извлекаем корень из полученного выражения:
\(
AH = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}
\)

3. Теперь, когда мы нашли высоту \( AH \), можем вычислить площадь треугольника \( S \). Площадь равностороннего треугольника можно выразить через основание и высоту:
\(
S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\)
Подставим известные значения, где \( BC = a \) и \( AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} \):
\(
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}
\)
Упрощаем выражение:
\(
S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}
\)

4. Таким образом, мы пришли к окончательному результату, что площадь равностороннего треугольника с длиной стороны \( a \) равна \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).

5. Ответ: \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).