ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой c равна \(\frac{1}{2} \cdot c^2\).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны \( x = \frac{c}{\sqrt{2}} \), где \( c \) — гипотенуза. Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{c}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{c^2}{4} \).

1. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) с прямым углом в вершине \( C \). Обозначим длину катетов \( AC \) и \( BC \) как \( x \), а гипотенузу \( AB \) как \( c \). Поскольку треугольник равнобедренный, оба катета равны. По теореме Пифагора, которая связывает стороны прямоугольного треугольника, имеем:
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \Rightarrow c^2 = x^2 + x^2 \Rightarrow c^2 = 2x^2 \). Это уравнение показывает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

2. Из уравнения \( c^2 = 2x^2 \) можно выразить \( x^2 \):
\( x^2 = \frac{c^2}{2} \). Это важное равенство позволит нам найти значение катетов через гипотенузу. Чтобы получить значение \( x \), извлечем квадратный корень из обеих сторон:
\( x = \sqrt{\frac{c^2}{2}} = \frac{c}{\sqrt{2}} \). Таким образом, мы нашли длину катетов через гипотенузу.

3. Теперь найдем площадь треугольника \( S \). Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
\( S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 \). В нашем случае оба катета равны, поэтому:
\( S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} \cdot x^2 \). Это уравнение показывает, как площадь зависит от длины катетов.

4. Подставим значение \( x^2 \) из предыдущего шага:
\( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c^2}{2} = \frac{c^2}{4} \). Это выражение позволяет нам выразить площадь треугольника через гипотенузу \( c \).

5. Таким образом, мы пришли к выводу, что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой \( c \) равна \( \frac{c^2}{4} \). Это окончательный результат, который показывает, как площадь зависит от длины гипотенузы.

Ответ: \( \frac{c^2}{4} \).