ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, если его катеты равны 10 см и 24 см, равна \(\sqrt{24^2 — 10^2} = 22\) см.

Гипотенуза \( AB = \sqrt{10^2 + 24^2} = 26 \) см. Площадь треугольника через катеты \( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \) см\(^2\). Высота \( CH \) найдена из формулы площади \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \), откуда \( CH = \frac{120}{13} \).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), где \( AC \) и \( BC \) — катеты. Даны значения катетов: \( AC = 10 \) см и \( BC = 24 \) см. Для нахождения гипотенузы \( AB \) применим теорему Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Записываем формулу:

\(
AB^2 = AC^2 + BC^2
\)

Подставляем известные значения:

\(
AB^2 = 10^2 + 24^2
\)

Вычисляем квадраты катетов:

\(
10^2 = 100 \quad \text{и} \quad 24^2 = 576
\)

Теперь складываем полученные значения:

\(
AB^2 = 100 + 576 = 676
\)

Извлекаем квадратный корень из полученного значения:

\(
AB = \sqrt{676} = 26 \text{ см}
\)

Таким образом, длина гипотенузы \( AB \) составляет 26 см.

2. Теперь рассчитаем площадь треугольника \( S \). Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

\(
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC
\)

Подставляем значения катетов:

\(
S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24
\)

Выполняем умножение:

\(
10 \cdot 24 = 240
\)

Теперь делим на 2:

\(
S = \frac{240}{2} = 120 \text{ см}^2
\)

Таким образом, площадь треугольника составляет 120 см².

3. Площадь треугольника также можно выразить через гипотенузу \( AB \) и высоту \( CH \), проведённую к гипотенузе. Формула для площади в этом случае выглядит так:

\(
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH
\)

Подставляем известные значения площади и гипотенузы:

\(
120 = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot CH
\)

Упрощаем уравнение:

\(
120 = 13 \cdot CH
\)

Теперь решим это уравнение для нахождения высоты \( CH \):

\(
CH = \frac{120}{13} \text{ см}
\)

4. В результате мы получили высоту \( CH \), проведённую к гипотенузе, равную \( \frac{120}{13} \) см.

5. Ответ: \( \frac{120}{13} \).