ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения его диагоналей.

Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине их произведения, так как он делится на четыре прямоугольных треугольника. Сумма площадей этих треугольников даёт \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \).

1. Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет пересекающиеся диагонали AC и BD в точке O под прямым углом. По определению, угол между диагоналями \( \angle AOB = 90^\circ \).

2. Четырёхугольник разбивается на четыре треугольника: \( \triangle AOB \), \( \triangle BOC \), \( \triangle COD \), \( \triangle DOA \). Площадь каждого треугольника можно найти по формуле для площади прямоугольного треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 \). Например, для \( \triangle AOB \): \( S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \).

3. Общая площадь четырёхугольника равна сумме площадей четырёх треугольников:
\( S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA} \).
Подставим выражения для каждой площади:
\( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO + \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO + \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO + \frac{1}{2} \cdot DO \cdot AO \).

4. Группируем слагаемые, используя то, что \( AO + CO = AC \) и \( BO + DO = BD \):
\( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO) \).
Выносим общий множитель \( \frac{1}{2} \):
\( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (AO + CO) \cdot (BO + DO) \).
Подставляем значения:
\( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \).

5. Таким образом, площадь выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \). Это соответствует утверждению теоремы о площади такого четырёхугольника.