ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите площадь ромба, сторона которого равна 39 см, а разность диагоналей — 42 см.

1. Обозначим длину стороны ромба \( DC = x \). Согласно условию, диагональ \( BO = x + 42 \).

2. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом. Половина диагонали \( DC \) равна \( OC = \frac{x}{2} \). Половина другой диагонали \( OD = 15 \, \text{см} \).

3. Применим теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \( \triangle ODC \):
\(
OD^2 = OC^2 + DC^2
\)
Подставим известные значения:
\(
15^2 = \left( \frac{x}{2} \right)^2 + x^2
\)

4. Раскроем скобки и упростим:
\(
225 = \frac{x^2}{4} + x^2
\)
\(
225 = \frac{5x^2}{4}
\)
Умножим на 4:
\(
900 = 5x^2
\)
\(
x^2 = 180 \quad \Rightarrow \quad x = 30
\)

5. Теперь найдем \( BO \):
\(
BO = x + 42 = 30 + 42 = 72
\)

6. Площадь ромба вычисляется по формуле:
\(
S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2
\)
где \( d_1 = 30 \, \text{см} \) и \( d_2 = 72 \, \text{см} \):
\(
S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 72
\)
\(
S = 1080 \, \text{см}^2
\)

Площадь ромба равна \( 1080 \, \text{см}^2 \).

Обозначим длину стороны ромба \( DC = x \). По условию задачи разность между длиной диагонали \( BO \) и стороной \( DC \) равна \( 42 \, \text{см} \), то есть \( BO = x + 42 \).

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половина диагонали \( DC \) обозначается как \( OC \), и её длина равна \( OC = \frac{x}{2} \). Половина другой диагонали \( BO \) будет равна \( OD = 15 \, \text{см} \).

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике \( \triangle ODC \) выполняется следующее равенство:
\( OD^2 = OC^2 + DC^2 \). Подставим известные значения в это уравнение:
\( 15^2 = \left( \frac{x}{2} \right)^2 + x^2 \).

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:
\( 225 = \frac{x^2}{4} + x^2 \). Приведём подобные члены:
\( 225 = \frac{x^2}{4} + \frac{4x^2}{4} = \frac{5x^2}{4} \).

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
\( 900 = 5x^2 \). Теперь разделим обе стороны на 5:
\( x^2 = 180 \). Извлечём квадратный корень:
\( x = \sqrt{180} = 30 \).

Теперь найдём длину диагонали \( BO \):
\( BO = x + 42 = 30 + 42 = 72 \, \text{см} \).

Площадь ромба можно вычислить по формуле:
\( S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) – длины диагоналей. Подставим известные значения:
\( S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 72 \).

Сначала вычислим произведение:
\( 30 \cdot 72 = 2160 \). Затем разделим результат на 2:
\( S = \frac{2160}{2} = 1080 \).

Площадь ромба равна \( 1080 \, \text{см}^2 \).