ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

Рассмотрим треугольник \( ABC \) с вершиной \( A \) и основанием \( BC \). Обозначим \( M \) как середину отрезка \( BC \). Мы докажем, что медиана \( AM \) разбивает треугольник на два равновеликих треугольника \( ABM \) и \( ACM \).

1. Обозначим длины отрезков: \( BM = CM \) (так как \( M \) — середина \( BC \)).
2. Высота из точки \( A \) на основание \( BC \) будет одинаковой для обоих треугольников и обозначим её как \( h \).
3. Площадь треугольника \( ABM \) рассчитывается по формуле: \( S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h \).
4. Площадь треугольника \( ACM \) рассчитывается аналогично: \( S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot h \).
5. Поскольку \( BM = CM \), то \( S_{ABM} = S_{ACM} \). Таким образом, медиана \( AM \) разбивает треугольник \( ABC \) на два равновеликих треугольника.

Рассмотрим треугольник \( ABC \) с вершиной \( A \) и основанием \( BC \). Обозначим \( M \) как середину отрезка \( BC \). Мы будем доказывать, что медиана \( AM \) разбивает треугольник на два равновеликих треугольника \( ABM \) и \( ACM \).

1. Начнем с определения точки \( M \). Поскольку \( M \) — это середина отрезка \( BC \), то по определению мы имеем равенство: \( BM = CM \). Это важное свойство, так как оно показывает, что длины отрезков, на которые медиана делит основание, равны.

2. Теперь рассмотрим высоты треугольников \( ABM \) и \( ACM \). Высота из точки \( A \) на основание \( BC \) будет одинаковой для обоих треугольников. Обозначим эту высоту как \( h \). Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на основание, и в данном случае высота будет одной и той же, так как она измеряется от одной и той же точки \( A \) до линии \( BC \).

3. Теперь мы можем выразить площади треугольников \( ABM \) и \( ACM \) с помощью формулы площади треугольника. Площадь треугольника рассчитывается по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \).

4. Для треугольника \( ABM \) основанием будет отрезок \( BM \). Таким образом, площадь треугольника \( ABM \) можно записать как: \( S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h \).

5. Аналогично, для треугольника \( ACM \) основанием будет отрезок \( CM \). Площадь треугольника \( ACM \) будет равна: \( S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot h \).

6. Так как мы ранее установили, что \( BM = CM \) (поскольку \( M \) — середина отрезка \( BC \)), мы можем заменить \( CM \) на \( BM \) в формуле для площади \( ACM \): \( S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h \).

7. Теперь у нас есть: \( S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h \) и \( S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h \).

8. Сравнив площади, получаем: \( S_{ABM} = S_{ACM} \).

9. Это указывает на то, что площади треугольников \( ABM \) и \( ACM \) равны. Таким образом, медиана \( AM \) разбивает треугольник \( ABC \) на два равновеликих треугольника.

10. В заключение, мы доказали, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, используя свойства равенства отрезков и высот.