ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Середину одной из диагоналей выпуклого четырёхугольника соединили с концами другой. Докажите, что полученная ломаная (либо полученный отрезок) делит четырёхугольник на две равновеликие части.

Пусть \( ABCD \) — выпуклый четырёхугольник, \( M \) — середина \( AC \), \( N \) и \( P \) — концы \( BD \). Площадь \( S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 \) и \( S_{DCM} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_2 \). Высоты \( h_1 \) и \( h_2 \) равны, значит \( S_{ABM} + S_{DCM} = \frac{1}{2} \cdot (AB + DC) \cdot h \). Площади \( S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 \) и \( S_{DAM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 \) также равны. В итоге \( S_{ABM} + S_{DCM} = S_{BCM} + S_{DAM} \), что доказывает, что ломаная \( MP \) делит четырёхугольник \( ABCD \) на две равновеликие части.

Пусть \( ABCD \) — выпуклый четырёхугольник. Обозначим \( M \) — середину отрезка \( AC \), \( N \) и \( P \) — концы отрезка \( BD \).

1. Площадь четырёхугольника \( ABCD \) равна сумме площадей треугольников:
\( S_{ABCD} = S_{ABM} + S_{BCM} + S_{CDM} + S_{DAM} \).

2. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle DCM \). Площадь \( S_{ABM} \) можно выразить как:
\( S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 \),
где \( h_1 \) — высота из точки \( B \) на сторону \( AC \).

3. Площадь \( S_{DCM} \) равна:
\( S_{DCM} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_2 \),
где \( h_2 \) — высота из точки \( D \) на сторону \( AC \).

4. Поскольку \( M \) — середина \( AC \), высоты \( h_1 \) и \( h_2 \) равны, следовательно:
\( S_{ABM} + S_{DCM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h + \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h \).

5. Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle BCM \) и \( \triangle DAM \). Площадь \( S_{BCM} \) равна:
\( S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 \).

6. Площадь \( S_{DAM} \) равна:
\( S_{DAM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 \).

7. Таким образом, площади левой и правой частей равны:
\( S_{ABM} + S_{DCM} = S_{BCM} + S_{DAM} \).

8. Это означает, что ломаная \( MP \) делит четырёхугольник \( ABCD \) на две равновеликие части.