ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В треугольнике провели три медианы. Докажите, что они разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.
В треугольнике \(ABC\) проведем медианы \(AD\), \(BE\) и \(CF\), где \(D\), \(E\) и \(F\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\). Медиана \(AD\) делит треугольник на два равных по площади треугольника \(ABD\) и \(ACD\) с площадью \(\frac{S}{2}\). Аналогично, медианы \(BE\) и \(CF\) делят треугольник \(ABC\) на равные части. Пересечение медиан в точке \(G\) создает шесть треугольников: \(ABG\), \(ACG\), \(BCG\), \(ADG\), \(BEG\) и \(CFG\). Площади треугольников \(ABG\), \(ACG\) и \(BCG\) равны, как и площади \(ADG\), \(BEG\) и \(CFG\). Каждая из шести частей имеет площадь \(\frac{S}{6}\), что доказывает, что медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.
В треугольнике \(ABC\) проведем три медианы \(AD\), \(BE\) и \(CF\), где \(D\), \(E\) и \(F\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно.
1. Медиана \(AD\) делит треугольник \(ABC\) на два треугольника: \(ABD\) и \(ACD\). Площадь треугольника \(ABD\) равна \(\frac{S}{2}\), где \(S\) — площадь треугольника \(ABC\).
2. Медиана \(BE\) делит треугольник \(ABC\) на два треугольника: \(ABE\) и \(BCE\). Площадь треугольника \(ABE\) также равна \(\frac{S}{2}\).
3. Медиана \(CF\) делит треугольник \(ABC\) на два треугольника: \(ACF\) и \(BCF\). Площадь треугольника \(ACF\) равна \(\frac{S}{2}\).
4. Пересечение медиан происходит в точке \(G\), которая является центром масс треугольника.
5. Треугольник \(AGB\) имеет одинаковую площадь с треугольником \(AGC\), так как медиана \(AD\) делит треугольник \(ABC\) на две равные части.
6. Аналогично, медиана \(BE\) делит треугольники \(ABG\) и \(BCG\) на равные площади, а медиана \(CF\) делит треугольники \(ACG\) и \(BCG\) на равные площади.
7. Таким образом, площади треугольников \(ABG\), \(ACG\), \(BCG\), \(ADG\), \(BEG\) и \(CFG\) равны между собой.
8. Площадь каждого из шести треугольников равна \(\frac{S}{6}\).
9. Следовательно, треугольники, образованные медианами, равновелики и суммарная площадь равна площади треугольника \(ABC\).
10. Таким образом, три медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.
