ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через вершину ромба проведите две прямые так, чтобы они разбили данный ромб на три равновеликих многоугольника. многоугольников.

Проведите две прямые из вершины A ромба ABCD к серединам сторон BC и AD, обозначив их как M и N. Площадь ромба S равна \( S = a^2 \). Треугольники AMB, AMC и AND имеют равные площади, так как основание и высота для всех треугольников одинаковы. Каждая площадь равна \( \frac{S}{3} \), что обеспечивает равновеликость многоугольников.

1. Рассмотрим ромб ABCD с вершиной A. Обозначим стороны AB, BC, CD и DA равными \( a \).

2. Найдем площадь ромба. Площадь \( S \) ромба можно вычислить по формуле:
\( S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \),
где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей. Для ромба, если диагонали пересекаются под прямым углом, можно выразить их через сторону:
\( d_1 = a \sqrt{2} \) и \( d_2 = a \sqrt{2} \).
Тогда
\( S = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} = a^2 \).

3. Чтобы разбить ромб на три равновеликих многоугольника, проведем две прямые из вершины A. Первая прямая будет проведена к середине стороны BC, а вторая — к середине стороны AD.

4. Обозначим середины сторон BC и AD как M и N соответственно.

5. Треугольник AMB имеет основание MB и высоту, проведенную из точки A, которая равна \( h \). Площадь треугольника AMB:
\( S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot h \).

6. Аналогично, треугольник AMC имеет основание MC и высоту, равную той же \( h \):
\( S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot h \).

7. Треугольник AND также имеет основание ND и высоту, равную \( h \):
\( S_{AND} = \frac{1}{2} \cdot ND \cdot h \).

8. Поскольку M и N являются серединами сторон, то MB = MC = ND, и все три площади равны:
\( S_{AMB} = S_{AMC} = S_{AND} = \frac{S}{3} \).

9. Таким образом, каждая из трех частей имеет равную площадь, и ромб разбит на три равновеликих многоугольника.