ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике проведены три высоты. Докажите, что к наибольшей стороне треугольника проведена наименьшая высота.

В треугольнике \( ABC \) с сторонами \( a \), \( b \), \( c \) и высотами \( h_a \), \( h_b \), \( h_c \) имеем \( h_a = \frac{2S}{a} \), \( h_b = \frac{2S}{b} \), \( h_c = \frac{2S}{c} \). Если \( a \geq b \geq c \), то \( h_a \leq h_b \) и \( h_a \leq h_c \). Таким образом, к наибольшей стороне \( a \) проведена наименьшая высота \( h_a \).

Пусть \( ABC \) — треугольник, где \( a \), \( b \), \( c \) — длины сторон, противоположных вершинам \( A \), \( B \), \( C \) соответственно. Пусть \( h_a \), \( h_b \), \( h_c \) — высоты, проведенные из вершин \( A \), \( B \), \( C \) соответственно.

1. Площадь треугольника можно выразить через высоту и основание:
\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \)
\( S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \)
\( S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \)

2. Из этих выражений можно выразить высоты:
\( h_a = \frac{2S}{a} \)
\( h_b = \frac{2S}{b} \)
\( h_c = \frac{2S}{c} \)

3. Предположим, что \( a \geq b \geq c \). Это значит, что сторона \( a \) является наибольшей.

4. Так как \( S \) — положительная величина, то при увеличении \( a \) высота \( h_a \) будет уменьшаться:
Если \( a \) увеличивается, то \( h_a \) уменьшается, так как \( h_a = \frac{2S}{a} \).

5. Поскольку \( b \) и \( c \) меньше \( a \), высоты \( h_b \) и \( h_c \) будут больше:
\( h_b = \frac{2S}{b} \) и \( h_c = \frac{2S}{c} \).

6. Таким образом, имеем:
\( h_a \leq h_b \)
\( h_a \leq h_c \)

7. Следовательно, к наибольшей стороне \( a \) проведена наименьшая высота \( h_a \).