ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки, один из которых на 14 см больше другого. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см.

Уравнение: \((2x + 14)^2 = (x + 4)^2 + (x + 18)^2\) раскроем скобки: \(4x^2 + 56x + 196 = 2x^2 + 44x + 340\). Переносим все на одну сторону: \(2x^2 + 12x — 144 = 0\). Дискриминант: \(D = 12^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-144) = 144 + 1152 = 1296\). Корни: \(x = \frac{-12 \pm 36}{4}\) дают \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -12\).

Для площади: \(BC = 30 \, \text{см}\), \(DC = 16 \, \text{см}\). Площадь: \(S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 16 = 240 \, \text{см}^2\).

Ответ: \(x = 6\) или \(x = -12\), площадь \(S = 240 \, \text{см}^2\).

Решение:

1. Уравнение: \((2x + 14)^2 = (x + 4)^2 + (x + 18)^2\)

Сначала раскроем скобки в обоих частях уравнения. Начнем с левой части:

\((2x + 14)^2 = 4x^2 + 56x + 196\)

Теперь раскроем правую часть:

\((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\)

\((x + 18)^2 = x^2 + 36x + 324\)

Теперь сложим правые части:

\(x^2 + 8x + 16 + x^2 + 36x + 324 = 2x^2 + 44x + 340\)

Теперь у нас есть полное уравнение:

\(4x^2 + 56x + 196 = 2x^2 + 44x + 340\)

Переносим все на одну сторону уравнения:

\(4x^2 + 56x + 196 — 2x^2 — 44x — 340 = 0\)

Упрощаем:

\(2x^2 + 12x — 144 = 0\)

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для этого найдем дискриминант:

\(D = b^2 — 4ac\)

Для уравнения \(2x^2 + 12x — 144 = 0\) определим коэффициенты: \(a = 2\), \(b = 12\), \(c = -144\).

Теперь подставим значения в формулу для дискриминанта:

\(D = 12^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-144)\)

Вычисляем:

\(D = 144 + 1152 = 1296\)

Теперь, когда мы нашли дискриминант, можем найти корни уравнения. Используем формулу:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Подставим значения:

\(x = \frac{-12 \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 2}\)

Вычисляем \(\sqrt{1296}\):

\(\sqrt{1296} = 36\)

Теперь подставим это значение:

\(x = \frac{-12 \pm 36}{4}\)

Теперь найдем два корня:

Первый корень:

\(x_1 = \frac{-12 + 36}{4} = \frac{24}{4} = 6\)

Второй корень:

\(x_2 = \frac{-12 — 36}{4} = \frac{-48}{4} = -12\)

Ответ: \(x = 6\) или \(x = -12\).

2. Далее находим \(BC\) с учетом, что:

\(BC = 30 \, \text{см}\)

Теперь рассчитаем площадь треугольника, используя формулу:

\(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC\)

Здесь \(DC = 16 \, \text{см}\). Подставим значения в формулу:

\(S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 16\)

Вычислим:

\(S = \frac{1}{2} \cdot 480 = 240 \, \text{см}^2\)

Ответ: площадь \(S = 240 \, \text{см}^2\).