ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена высота СМ. Площадь треугольника ACМ равна 6 см², а площадь треугольника ВСМ — 54 см². Найдите стороны треугольника ABC.

1. \( S_{\triangle AMC} = \frac{1}{2} AM \cdot CM = 6 \Rightarrow AM \cdot CM = 12 \)

2. \( \frac{AM}{CM} = \frac{1}{3} \Rightarrow AM = \frac{1}{3} CM \)

3. \( CM^2 = AM \cdot BM \)

4. \( S_{\triangle AMC} = \frac{1}{2} AM \cdot MC = \frac{3}{2} AM^2 = 6 \Rightarrow AM^2 = 4 \Rightarrow AM = 2 \, \text{cm} \)

5. \( AC = \sqrt{4 + 36} = 2\sqrt{10} \, \text{cm} \)

6. \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle OCB} = 60 \, \text{cm}^2 \)

7. \( 2\sqrt{10} \cdot BC = 120 \Rightarrow BC = \frac{120}{2\sqrt{10}} = 6\sqrt{10} \, \text{cm} \)

8. \( AB = AM + MB = 20 \, \text{cm} \)

Сначала найдем площадь треугольника \( \Delta AMC \). Площадь треугольника можно выразить через его основание и высоту по формуле:

\(
S = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CM
\)

По условию задачи, площадь треугольника равна 6, следовательно:

\(
\frac{1}{2} \cdot AM \cdot CM = 6 \Rightarrow AM \cdot CM = 12
\)

Теперь введем переменную для выражения соотношения между \( AM \) и \( CM \). По условию задачи, отношение этих отрезков \( \frac{AM}{CM} = \frac{1}{3} \), то есть \( AM \) в 3 раза меньше, чем \( CM \). Это позволяет нам выразить \( AM \) через \( CM \):

\(
AM = \frac{1}{3} \cdot CM
\)

Подставим это выражение для \( AM \) в уравнение для площади:

\(
AM \cdot CM = 12 \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot CM \cdot CM = 12 \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot CM^2 = 12
\)

Умножив обе стороны уравнения на 3, получаем:

\(
CM^2 = 36 \Rightarrow CM = 6 \, \text{см}
\)

Теперь, когда мы знаем \( CM \), можем найти \( AM \), подставив найденное значение в выражение \( AM = \frac{1}{3} \cdot CM \):

\(
AM = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \, \text{см}
\)

Итак, мы нашли длины сторон \( AM = 2 \, \text{см} \) и \( CM = 6 \, \text{см} \).

Теперь вычислим длину гипотенузы \( AC \) с использованием теоремы Пифагора. Известно, что для прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\(
AC^2 = AM^2 + CM^2
\)

Подставляем известные значения:

\(
AC^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40 \Rightarrow AC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \, \text{см}
\)

Теперь рассчитаем площадь всего треугольника \( ABC \). Площадь треугольника можно выразить как сумму площадей двух меньших треугольников \( AOC \) и \( OCB \), на которые он делится. Площадь треугольника \( ABC \) равна 60 см², и эта площадь состоит из двух частей:

\(
S_{\Delta ABC} = S_{\Delta AOC} + S_{\Delta OCB} = 60 \, \text{см}^2
\)

Теперь, зная площадь, можем найти длину стороны \( BC \). Используем уравнение для площади:

\(
\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = 60 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{10} \cdot BC = 60
\)

Умножив обе стороны уравнения на 2, получаем:

\(
2\sqrt{10} \cdot BC = 120 \Rightarrow BC = \frac{120}{2\sqrt{10}} = \frac{60}{\sqrt{10}} = 6\sqrt{10} \, \text{см}
\)

И, наконец, вычислим длину гипотенузы \( AB \), которая является суммой отрезков \( AM \) и \( MB \). Поскольку \( AM = 2 \, \text{см} \), а \( MB = 18 \, \text{см} \) (это длина оставшейся части гипотенузы), получаем:

\(
AB = AM + MB = 2 + 18 = 20 \, \text{см}
\)