ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса его острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 21 см и 35 см. стороны треугольника ABC.

1. \( \frac{xc}{9} = \frac{y}{35} \Rightarrow x = \frac{9y}{35} \)

2. \( cd^2 + cD^2 = cd^2 + cP^2 \)
\(
y^2 = x^2 + 3136
\)
\(
\frac{y^2}{4225} = \frac{81y^2}{1225} + 3136
\)
\(
\frac{784y^2}{4225} = 3136
\)
\(
y^2 = \frac{3136 \cdot 4225}{784} = 1764
\)
\(
y = \sqrt{1764} = 42
\)
\(
x = \frac{9 \cdot 42}{35} = 10.8
\)

3. \( S = \frac{1}{2} cd \cdot cP = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 56 = 1176 \, (\text{см}^2) \)

1. Рассмотрим равенство \( \frac{xc}{9} = \frac{y}{35} \), из которого нужно выразить переменную \( x \) через \( y \).
Чтобы найти \( x \), умножим обе части уравнения на 9:
\( xc = \frac{9y}{35} \).
Далее, чтобы выразить \( x \), разделим обе стороны на \( c \):
\( x = \frac{9y}{35c} \).
Предполагая, что \( c = 1 \), формула упрощается до:
\( x = \frac{9y}{35} \).

2. Теперь рассмотрим уравнение:
\( y^2 = x^2 + 3136 \).
Подставим выражение для \( x \), найденное ранее:
\( x = \frac{9y}{35},\ \text{значит,}\ x^2 = \left( \frac{9y}{35} \right)^2 = \frac{81y^2}{1225} \).
Тогда уравнение принимает вид:
\( y^2 = \frac{81y^2}{1225} + 3136 \).
Перепишем его так, чтобы все слагаемые были в одной части:
\( y^2 — \frac{81y^2}{1225} = 3136 \).
Приведем левую часть к общему знаменателю:
\( \frac{1225y^2 — 81y^2}{1225} = 3136 \Rightarrow \frac{1144y^2}{1225} = 3136 \).
Упростим дробь:
\( \frac{784y^2}{4225} = 3136 \).
Теперь умножим обе части уравнения на \( 4225 \):
\( 784y^2 = 3136 \cdot 4225 \).
Разделим обе части на \( 784 \):
\( y^2 = \frac{3136 \cdot 4225}{784} \).
Вычислим числитель и знаменатель:
\( 3136 : 784 = 4,\ \text{поэтому}\ y^2 = 4 \cdot 4225 = 16900 \).
Найдем корень квадратный:
\( y = \sqrt{16900} = 130 \).
Теперь подставим значение \( y = 130 \) в формулу для \( x \):
\( x = \frac{9 \cdot 130}{35} = \frac{1170}{35} = 33.42857 \).

3. Найдем площадь треугольника по формуле:
\( S = \frac{1}{2} \cdot cd \cdot cP \),
где \( cd = 42 \), \( cP = 56 \).
Подставим значения:
\( S = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 56 = 21 \cdot 56 = 1176 \).
Таким образом, площадь треугольника равна:
\( S = 1176\ (\text{см}^2) \).