ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 6 см.

1. \( \frac{x}{6} = \frac{y}{2} \Rightarrow x = \frac{6y}{2} = 3y \)

2. \( cdB^2 = cdC^2 + BC^2 \)

\( 64 = x^2 + y^2 \)

\( 64 = (3y)^2 + y^2 \)

\( 64 = 9y^2 + y^2 \)

\( 10y^2 = 64 \Rightarrow y^2 = \frac{64}{10} \Rightarrow y = \frac{8}{\sqrt{10}} \)

\( x = 3y = \frac{3 \cdot 8}{\sqrt{10}} = \frac{24}{\sqrt{10}} \)

3. \( S = \frac{1}{2} ac \cdot cB = \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{\sqrt{10}} \cdot \frac{8}{\sqrt{10}} = \frac{96}{10} = 9.6 (\text{cm}^2) \)

1. В задаче дано соотношение \( \frac{x}{6} = \frac{y}{2} \), из которого следует, что величины $ x $ и $ y $ пропорциональны с коэффициентом 3: \( x = 3y \). Это позволяет выразить одну переменную через другую, упрощая дальнейшие вычисления.

2. Далее используется теорема Пифагора для треугольника $ cdBC $, где $ cdB $ — гипотенуза, а $ cdC $ и $ BC $ — катеты. Запишем:

\( cdB^2 = cdC^2 + BC^2 \)

Подставляем значения:

\( 64 = x^2 + y^2 \)

Так как ранее было найдено, что $ x = 3y $, подставим это в уравнение:

\( 64 = (3y)^2 + y^2 \)

Раскрываем скобки:

\( 64 = 9y^2 + y^2 \)

Приводим подобные слагаемые:

\( 10y^2 = 64 \)

Решаем относительно $ y^2 $:

\( y^2 = \frac{64}{10} \)

Извлекаем квадратный корень:

\( y = \frac{8}{\sqrt{10}} \)

Теперь находим $ x $:

\( x = 3y = \frac{3 \cdot 8}{\sqrt{10}} = \frac{24}{\sqrt{10}} \)

3. Площадь треугольника определяется по формуле:

\( S = \frac{1}{2} \cdot ac \cdot cB \)

Здесь $ ac = x = \frac{24}{\sqrt{10}} $, $ cB = y = \frac{8}{\sqrt{10}} $. Подставляем:

\( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{\sqrt{10}} \cdot \frac{8}{\sqrt{10}} \)

Перемножаем дроби:

\( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 \cdot 8}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{192}{10} = \frac{192}{20} = \frac{96}{10} = 9.6 \)

Таким образом, площадь треугольника равна:

\( 9.6 (\text{cm}^2) \)