ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведённую к основанию, на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь данного треугольника.

\( BC = 30 + x \)
\( BU = 50 \, (\text{см}) \)
\( UC = VC = x \)
\( BO^2 = BU^2 + OU^2 \)
\( BO = \sqrt{BU^2 — OU^2} = \sqrt{50^2 — 16^2} = \sqrt{2500 — 256} = \sqrt{2244} \approx 47.38 \, (\text{см}) \)
\( BC^2 = BU^2 + UC^2 \)
\( (30 + x)^2 = 2500 + x^2 \)
\( 900 + 60x + x^2 = 2500 + x^2 \)
\( 60x = 1600 \)
\( x = \frac{1600}{60} = \frac{80}{3} \, (\text{см}) \)
\( BC = 30 + \frac{80}{3} = \frac{90 + 80}{3} = \frac{170}{3} \, (\text{см}) \)
\( DC = 2 \cdot UC = 2 \cdot \frac{80}{3} = \frac{160}{3} \, (\text{см}) \)
\( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DU = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot \frac{160}{3} = \frac{4000}{3} \, (\text{см}^2) \)

Рассмотрим геометрическую ситуацию: нам дана пирамида или, возможно, треугольник с вписанной окружностью, где BC = 30 + x — это одна из сторон, BU = 50 \, (\text{см}) — длина отрезка от вершины до точки касания окружности, а UC = VC = x — равные отрезки, образованные точками касания окружности к сторонам фигуры.

Сначала найдем длину отрезка BO , который соединяет центр окружности O с вершиной B . Для этого применим теорему Пифагора к треугольнику BUO , где BU = 50 — катет, OU = 16 — радиус окружности и второй катет, а BO — гипотенуза:
\( BO^2 = BU^2 + OU^2 \)

Подставляя значения, получаем:
\( BO = \sqrt{BU^2 — OU^2} = \sqrt{50^2 — 16^2} = \sqrt{2500 — 256} = \sqrt{2244} \approx 47.38 \, (\text{см}) \)
Здесь мы вычисляем разность квадратов длин отрезков BU и OU , чтобы найти длину BO .

Теперь перейдем к рассмотрению треугольника BUC , где BC — сторона, которую мы уже обозначили как 30 + x , BU = 50 , UC = x . Применяем теорему Пифагора:
\( BC^2 = BU^2 + UC^2 \)

Подставляем выражение для BC :
\( (30 + x)^2 = 2500 + x^2 \)

Раскрываем скобки слева по формуле квадрата суммы:
\( 900 + 60x + x^2 = 2500 + x^2 \)

Вычитаем x^2 из обеих частей уравнения:
\( 900 + 60x = 2500 \)

Переносим числа и решаем уравнение относительно x :
\( 60x = 1600 \)

Делим обе части на 60:
\( x = \frac{1600}{60} = \frac{80}{3} \, (\text{см}) \)

Теперь подставляем значение x в выражение для BC :
\( BC = 30 + \frac{80}{3} = \frac{90 + 80}{3} = \frac{170}{3} \, (\text{см}) \)

Найдем длину стороны DC , которая равна удвоенной длине отрезка UC , так как окружность касается двух сторон симметрично:
\( DC = 2 \cdot UC = 2 \cdot \frac{80}{3} = \frac{160}{3} \, (\text{см}) \)

Теперь можем найти площадь треугольника или четырехугольника, если предположить, что DU — высота, проведенная к стороне DC . Формула площади треугольника:
\( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \)

В данном случае основание — это \( DC = \frac{160}{3}\) см, а высота — BU = 50 см :
\( S = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot \frac{160}{3} \)

Выполняем умножение:
\( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{8000}{3} = \frac{4000}{3} \, (\text{см}^2) \)

Таким образом, площадь фигуры равна:
\( \frac{4000}{3} \, (\text{см}^2) \)