ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении 9 : 8, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

У нас есть равнобедренный треугольник \( ABC \), где боковые стороны \( AB = AC \), а основание \( BC \). Вписанная окружность с радиусом \( r = 16 \) касается сторон, и точка касания на \( AB \) делит её в отношении \( 9:8 \) от вершины \( A \). Пусть от \( A \) до точки касания \( 9k \), а от точки касания до \( B \) — \( 8k \), тогда \( AB = 17k \), и \( AC = 17k \). По свойству касательных из точки \( B \) касательные равны, значит, на основании от \( B \) до точки касания тоже \( 8k \), и из \( C \) — \( 8k \), так что \( BC = 16k \). Полупериметр \( p = \frac{17k + 17k + 16k}{2} = 25k \). Площадь через радиус: \( S = r \cdot p = 16 \cdot 25k = 400k \). Теперь найдём высоту: она делит основание на \( 8k \) и \( 8k \), в прямоугольном треугольнике гипотенуза \( 17k \), катет \( 8k \), по Пифагору высота \( h = \sqrt{(17k)^2 — (8k)^2} = \sqrt{289k^2 — 64k^2} = \sqrt{225k^2} = 15k \). Площадь через основание и высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot 16k \cdot 15k = 120k^2 \). Приравняем: \( 120k^2 = 400k \), делим на \( k \): \( 120k = 400 \), значит \( k = \frac{400}{120} = \frac{10}{3} \). Площадь: \( S = 400k = 400 \cdot \frac{10}{3} = \frac{4000}{3} \).

Давайте решим задачу о нахождении площади равнобедренного треугольника с вписанной окружностью максимально подробно, шаг за шагом, с объяснениями, которые будут понятны даже тем, кто только начинает изучать геометрию. Мы будем использовать простые аналогии, чтобы каждый этап был ясен, как день, и разберём все нюансы, чтобы не осталось никаких вопросов. Ответ будет соответствовать примеру, а все формулы будут записаны в формате LaTeX с круглыми скобками \( и \).

1. Представим наш треугольник как симметричную гору. У нас есть равнобедренный треугольник \( ABC \), где две стороны, которые идут от вершины \( A \) к основанию, равны между собой. Эти стороны называются боковыми, и они равны: \( AB = AC \). Основание \( BC \) — это нижняя часть нашей горы, которая соединяет концы боковых сторон. Внутри этого треугольника нарисована окружность, которая касается всех трёх сторон треугольника, то есть она как бы «прижата» к ним изнутри. Радиус этой вписанной окружности дан, и он равен \( r = 16 \). Это значит, что если мы проведём линию от центра окружности до любой из сторон, где она касается треугольника, то длина этой линии будет \( 16 \). Теперь нам говорят, что точка, в которой окружность касается одной из боковых сторон, например стороны \( AB \), делит эту сторону на две части в отношении \( 9:8 \), если считать от вершины \( A \). Это значит, что от вершины \( A \) до точки касания расстояние больше, чем от точки касания до точки \( B \), и эти расстояния соотносятся как \( 9 \) к \( 8 \). Наша задача — найти площадь треугольника, то есть сколько места занимает эта фигура на плоскости.

2. Чтобы упростить расчёты, давайте введём переменную, которая поможет нам выразить все длины через одно число. Пусть часть стороны \( AB \) от вершины \( A \) до точки касания равна \( 9k \), где \( k \) — это какой-то множитель, который мы потом найдём. Тогда часть от точки касания до точки \( B \) будет равна \( 8k \). Это следует из условия, что отношение частей \( 9:8 \). Теперь сложим эти части, чтобы найти длину всей стороны \( AB \): \( AB = 9k + 8k = 17k \). Поскольку наш треугольник равнобедренный, то есть симметричный, другая боковая сторона \( AC \) тоже должна быть равна \( 17k \). Представьте, что у вас есть две одинаковые линейки, которые вы поставили под наклоном, чтобы они встретились вверху в точке \( A \), и каждая из них имеет длину \( 17k \). Это наши боковые стороны. Теперь нам нужно понять, как выглядит основание \( BC \), но пока у нас нет для него значения, и мы найдём его с помощью свойств окружности.

3. Давайте вспомним одно важное правило из геометрии, которое называется свойством касательных. Оно гласит, что если из одной точки провести две касательные к окружности (то есть две линии, которые касаются окружности в разных местах), то длины этих касательных будут равны. Представьте, что вы стоите в точке \( B \) и держите две верёвки, которые касаются мячика (нашей окружности) в двух разных местах. Эти верёвки будут одинаковой длины. В нашем случае из точки \( B \) одна касательная идёт к точке касания на стороне \( AB \), и мы уже знаем, что эта часть равна \( 8k \) (это отрезок от \( B \) до точки касания). Другая касательная из точки \( B \) должна идти к точке касания на основании \( BC \), и, по свойству касательных, её длина тоже должна быть равна \( 8k \). То же самое происходит из точки \( C \): из неё тоже идут две касательные, одна к точке касания на стороне \( AC \), длиной \( 8k \), и другая к точке касания на основании \( BC \), тоже длиной \( 8k \). Теперь посмотрим на основание \( BC \): оно состоит из двух отрезков касательных, по \( 8k \) от каждой из точек \( B \) и \( C \). Значит, вся длина основания \( BC = 8k + 8k = 16k \). Ура, теперь мы знаем длины всех сторон треугольника: \( AB = 17k \), \( AC = 17k \), \( BC = 16k \). Это как если бы у нас была гора с основанием длиной \( 16k \) и склонами по \( 17k \).

4. Чтобы найти площадь треугольника, нам нужно знать, сколько пространства внутри этой фигуры. Один из способов найти площадь — использовать формулу, которая связывает площадь с радиусом вписанной окружности. Но сначала нам нужно вычислить полупериметр треугольника. Полупериметр — это половина суммы всех сторон, как будто мы сложили длины всех сторон и разделили на два, чтобы узнать, сколько нужно забора, чтобы обнести половину фигуры. Итак, полупериметр \( p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{17k + 17k + 16k}{2} = \frac{50k}{2} = 25k \). Это значит, что если бы мы обошли половину треугольника, то прошли бы \( 25k \). Теперь используем формулу для площади через радиус вписанной окружности: \( S = r \cdot p \), где \( r \) — это радиус, а \( p \) — полупериметр. Подставляем значения: \( S = 16 \cdot 25k = 400k \). Это наше первое выражение для площади. Но пока у нас есть неизвестное \( k \), и нам нужно найти его значение, чтобы получить точное число для площади.

5. Чтобы найти \( k \), давайте попробуем выразить площадь через другой способ, а потом приравняем два выражения. Второй способ — это найти площадь через основание и высоту треугольника. Формула очень простая: \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \). Мы знаем основание, это \( BC = 16k \), но нам нужно найти высоту. Высота — это как линия, которую мы опускаем из вершины \( A \) прямо вниз на основание \( BC \), как будто бросаем отвес с вершины горы к земле. В равнобедренном треугольнике эта высота делит основание ровно пополам, потому что фигура симметричная. Значит, точка, где высота касается основания, находится на расстоянии \( \frac{16k}{2} = 8k \) от точки \( B \) и на таком же расстоянии от точки \( C \). Теперь у нас есть два маленьких прямоугольных треугольника по обе стороны от высоты. Рассмотрим один из них, например, треугольник, где вершина \( A \), основание от \( B \) до точки пересечения высоты, и сама высота.

6. В этом прямоугольном треугольнике у нас есть гипотенуза — это боковая сторона треугольника \( AB = 17k \), один катет — это половина основания \( 8k \), а другой катет — это высота \( h \), которую нам нужно найти. Чтобы найти высоту, мы используем теорему Пифагора. Эта теорема говорит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы. Запишем это: \( h^2 + (8k)^2 = (17k)^2 \). Теперь раскроем квадраты: \( h^2 + 64k^2 = 289k^2 \). Чтобы найти \( h^2 \), вычтем \( 64k^2 \) из обеих сторон: \( h^2 = 289k^2 — 64k^2 = 225k^2 \). Теперь возьмём квадратный корень из обеих сторон, чтобы найти \( h \): \( h = \sqrt{225k^2} = 15k \). Отлично, мы нашли высоту треугольника, она равна \( 15k \). Представьте, что это как высота вашей горы, и теперь вы знаете, насколько высоко нужно подняться от основания до вершины.

7. Теперь, когда у нас есть высота \( h = 15k \) и основание \( BC = 16k \), мы можем найти площадь треугольника по формуле \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \). Подставим значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 16k \cdot 15k \). Сначала умножим \( 16k \) на \( 15k \): \( 16 \cdot 15 = 240 \), а \( k \cdot k = k^2 \), значит \( 16k \cdot 15k = 240k^2 \). Теперь умножим на \( \frac{1}{2} \): \( \frac{1}{2} \cdot 240k^2 = 120k^2 \). Итак, площадь равна \( S = 120k^2 \). Это наше второе выражение для площади. У нас уже было первое выражение через радиус: \( S = 400k \). Теперь у нас есть два разных способа выразить площадь, и они должны быть равны, потому что площадь треугольника одна и та же, независимо от того, как мы её считаем.

8. Чтобы найти \( k \), приравняем два выражения для площади: \( 120k^2 = 400k \). Это уравнение, которое нам нужно решить. Заметим, что \( k \) есть в обеих сторонах уравнения, и мы можем упростить его. Предположим, что \( k \neq 0 \) (потому что если \( k = 0 \), то все стороны треугольника равны нулю, а такого треугольника не бывает). Тогда мы можем разделить обе стороны уравнения на \( k \): \( 120k = 400 \). Теперь разделим обе стороны на \( 120 \), чтобы найти \( k \): \( k = \frac{400}{120} \). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на \( 40 \): \( \frac{400 \div 40}{120 \div 40} = \frac{10}{3} \). Значит, \( k = \frac{10}{3} \). Мы нашли значение \( k \), которое связывает все стороны треугольника. Это как если бы мы узнали масштаб нашей горы: каждая единица \( k \) равна \( \frac{10}{3} \), и теперь мы можем найти точные длины сторон.

9. Давайте проверим, какие длины сторон получаются с этим значением \( k \). Боковая сторона \( AB = 17k = 17 \cdot \frac{10}{3} = \frac{170}{3} \), то же самое для \( AC = \frac{170}{3} \), а основание \( BC = 16k = 16 \cdot \frac{10}{3} = \frac{160}{3} \). Высота \( h = 15k = 15 \cdot \frac{10}{3} = \frac{150}{3} = 50 \). Полупериметр \( p = 25k = 25 \cdot \frac{10}{3} = \frac{250}{3} \). Теперь проверим площадь через радиус: \( S = r \cdot p = 16 \cdot \frac{250}{3} = \frac{4000}{3} \). А через основание и высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot 16k \cdot 15k = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{10}{3} \cdot 15 \cdot \frac{10}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{160}{3} \cdot \frac{150}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{24000}{9} = \frac{24000}{18} =\)

\(= \frac{4000}{3} \). Видно, что оба способа дают одинаковый результат, значит, мы всё посчитали правильно.

10. Итак, площадь треугольника равна \( S = \frac{4000}{3} \). Это точное значение, выраженное в виде дроби, и оно совпадает с примером. Мы использовали два разных метода для вычисления площади: через радиус вписанной окружности и через основание с высотой, и оба метода привели нас к одному и тому же ответу. Это подтверждает, что наши расчёты верны. Мы также подробно разобрали, как работает свойство касательных, как применять теорему Пифагора для нахождения высоты, и как решать уравнение для нахождения \( k \). Представьте, что площадь — это как количество травы, которое растёт внутри нашей горы, и теперь мы точно знаем, сколько её там, а именно \( \frac{4000}{3} \) единиц площади. Это решение можно использовать как пример для понимания геометрии треугольников, свойств окружностей и применения теорем для решения задач.