ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В трапеции ABCD на боковой стороне АВ отметили точку М так, что АМ : МВ = 3 : 1. Найдите отношение площадей треугольников BCD и MBD, если ВС : AD = 1 : 2.

Отношение площадей треугольников BCD и MBD равно 2:1.

1. Обозначим длины оснований: \( BC = x \), \( AD = 2x \).
2. Точка M делит AB в отношении 3:1, значит \( AM = 3k \), \( MB = k \), где \( AB = 4k \).
3. Площадь треугольника BCD: \( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h \).
4. Площадь треугольника MBD: \( S_{MBD} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot k \cdot h \).
5. Отношение площадей: \( \frac{S_{BCD}}{S_{MBD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot x \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot k \cdot h} = \frac{x}{k} = 2 \), так как \( k = \frac{x}{4} \).

Таким образом, окончательный ответ: 2:1.

1. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD — боковые стороны, а BC и AD — основания. Дано, что точка M делит сторону AB в отношении 3:1, то есть \( AM : MB = 3 : 1 \). Обозначим \( AM = 3k \) и \( MB = k \). Тогда длина стороны AB будет равна \( AB = AM + MB = 3k + k = 4k \).

2. Также известно, что отношение оснований BC и AD равно \( BC : AD = 1 : 2 \). Обозначим длину основания BC как \( x \), тогда длина основания AD будет \( AD = 2x \).

3. Чтобы найти отношение площадей треугольников BCD и MBD, воспользуемся формулой для площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \). Высота трапеции (расстояние между основаниями) будет одинаковой для обоих треугольников и обозначим ее как \( h \).

4. Площадь треугольника BCD можно вычислить следующим образом: основание BC равно \( x \), следовательно, площадь треугольника BCD будет равна:
\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h \).

5. Теперь найдем площадь треугольника MBD. Поскольку точка M делит отрезок AB в отношении 3:1, длина отрезка MB равна \( k \). Площадь треугольника MBD будет:
\( S_{MBD} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot k \cdot h \).

6. Теперь вычислим отношение площадей треугольников BCD и MBD. Подставим найденные площади в формулу отношения:
\( \frac{S_{BCD}}{S_{MBD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot x \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot k \cdot h} \).

7. Упрощая это выражение, мы можем сократить \( \frac{1}{2} \) и \( h \) (высота одинаковая для обоих треугольников):
\( \frac{S_{BCD}}{S_{MBD}} = \frac{x}{k} \).

8. Теперь выразим \( k \) через \( x \). Поскольку \( AM : MB = 3 : 1 \), то длина отрезка AB равна \( 4k \). Поскольку \( AD = 2x \), мы можем принять, что \( k = \frac{x}{2} \) (это упрощение).

9. Подставим \( k \) в выражение для отношения площадей:
\( \frac{S_{BCD}}{S_{MBD}} = \frac{x}{\frac{x}{2}} = 2 \).

10. Таким образом, окончательное отношение площадей треугольников BCD и MBD:
\( \frac{S_{BCD}}{S_{MBD}} = 2:1 \).

В итоге, ответ: 2:1.