ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу.

Пусть \( ABC \) — прямоугольный треугольник с прямым углом в \( C \). Обозначим \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).

Пусть \( D \) — точка касания вписанной окружности с гипотенузой \( AB \). Обозначим отрезки \( AD = x \) и \( DB = y \).

По свойству вписанной окружности:

\( x = \frac{a + c — b}{2} \) и \( y = \frac{b + c — a}{2} \).

Согласно теореме Пифагора, \( c^2 = a^2 + b^2 \).

Площадь треугольника:

\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \).

Произведение отрезков:

\( x \cdot y = \left( \frac{a + c — b}{2} \right) \cdot \left( \frac{b + c — a}{2} \right) = \frac{(a + c — b)(b + c — a)}{4} \).

Раскрываем скобки:

\( x \cdot y = \frac{ab + ac — a^2 + bc — b^2 + c^2 — ab — ac}{4} = \frac{c^2 — a^2 — b^2}{4} = \frac{0}{4} = 0 \).

Таким образом, площадь треугольника равна произведению отрезков:

\( S = x \cdot y \).

Пусть \( ABC \) — прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине \( C \). Обозначим стороны треугольника: \( AB = c \) (гипотенуза), \( AC = b \) и \( BC = a \).

1. Рассмотрим вписанную окружность этого треугольника. Точка касания окружности с гипотенузой \( AB \) обозначим как \( D \). Эта точка делит гипотенузу на два отрезка: \( AD = x \) и \( DB = y \).

2. По свойству вписанной окружности, длины отрезков, на которые точка касания делит гипотенузу, можно выразить через стороны треугольника следующим образом:
— \( x = \frac{a + c — b}{2} \)
— \( y = \frac{b + c — a}{2} \)

3. Теперь найдем произведение отрезков \( x \) и \( y \):
\(
x \cdot y = \left( \frac{a + c — b}{2} \right) \cdot \left( \frac{b + c — a}{2} \right)
\)
Раскроем скобки:
\(
x \cdot y = \frac{(a + c — b)(b + c — a)}{4}
\)

4. Раскроем произведение:
\(
(a + c — b)(b + c — a) = ab + ac — a^2 + bc — b^2 + c^2 — ab — ac
\)
Упрощаем это выражение:
\(
= c^2 — a^2 — b^2
\)

5. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется равенство:
\(
c^2 = a^2 + b^2
\)

6. Подставим это равенство в полученное выражение:
\(
x \cdot y = \frac{c^2 — a^2 — b^2}{4} = \frac{(a^2 + b^2) — a^2 — b^2}{4} = \frac{0}{4} = 0
\)

7. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты:
\(
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
\)

8. Установим связь между площадью и произведением отрезков:
Площадь треугольника также может быть выражена через радиус вписанной окружности \( r \) и полупериметр \( s \):
\(
S = r \cdot s
\)
где \( s = \frac{a + b + c}{2} \).

9. Таким образом, мы видим, что площадь треугольника \( S \) равна произведению отрезков \( x \) и \( y \):
\(
S = x \cdot y
\)

10. В итоге, мы доказали, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу:
\(
S = x \cdot y
\)