ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны 4 см² и 9 см². Найдите площадь трапеции.

Площадь треугольника ABOC равна 4, а площадь треугольника ΔAOD равна 9. Отношение площадей этих треугольников равно \(\frac{4}{9}\). Так как треугольники подобны, то отношение их сторон также равно \(\frac{4}{9}\). Значит, \(\frac{BC}{AD} = \frac{2}{3}\). Высота трапеции равна сумме высот треугольников: h = h_1 + h_2 = 2x + 3x = 5x. Площадь трапеции равна \(\frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (1 + 3) \cdot 5 = 25\).

Площадь треугольников ABOC и ΔAOD можно использовать для нахождения отношения их сторон. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\(\frac{S_{ABOC}}{S_{ΔAOD}} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2\)

Подставляем данные:

\(\frac{S_{ABOC}}{S_{ΔAOD}} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2 = \left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81}\)

Из этого находим:

\(\frac{BC}{AD} = \frac{2}{3}\)

Так как треугольники подобны, отношение их высот также равно этому коэффициенту:

\(\frac{h_1}{h_2} = \frac{2}{3}\)

Пусть h_1 = 2x и h_2 = 3x. Тогда высота трапеции h равна:

h = h_1 + h_2 = 2x + 3x = 5x

Теперь вычислим BC и AD через h. Для ΔBOC:

\(S_{ABOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = 4 \Rightarrow BC = \frac{4}{2 \cdot 2x} = 1\)

Для ΔAOD:

\(S_{ΔAOD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = 9 \Rightarrow AD = \frac{9}{2 \cdot 3x} = 3\)

Теперь находим сумму оснований трапеции:

BC + AD = 1 + 3 = 4

Площадь трапеции:

S = \(\frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5x = 10x\)

Подставляя значения, получаем:

S = \(\frac{1}{2} \cdot (1 + 3) \cdot 5 = 25\)

Ответ: 25.