ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Площадь трапеции равна 16 см². Площадь треугольника, образованного отрезками диагоналей и одной из боковых сторон, равна 3 см². Найдите площади треугольников, образованных отрезками диагоналей и основаниями трапеции.

1. \( \triangle BOC \sim \triangle AOD \Rightarrow \)
\(
\frac{CO}{AO} = \sqrt{\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}}}
\)

2. \( S_{AOD} = \sqrt{\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}}} \cdot S_{BOC} \)

3. \( S_{ABCD} = \left( \sqrt{S_{BOC}} + \sqrt{S_{AOD}} \right)^2 = 16 \)

4. \( S_{BOC} = 1 \, (\text{cm}^2) \); \( S_{AOD} = 9 \, (\text{cm}^2) \)

Пусть трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\), диагонали пересекаются в точке \(O\). Даны: площадь трапеции \(S_{ABCD} = 16 \, \text{см}^2\), площадь треугольника \(S_{BOC} = 3 \, \text{см}^2\). Требуется найти площади треугольников \(S_{AOD}\) и \(S_{BOC}\).

1. Рассмотрим подобие треугольников \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\). Из подобия следует, что отношение высот этих треугольников равно отношению их площадей:
\(
\frac{CO}{AO} = \sqrt{\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}}}.
\)

2. Площадь \(\triangle AOD\) выразим через площадь \(\triangle BOC\):
\(
S_{AOD} = \sqrt{S_{BOC}} \cdot S_{AOD} \cdot S_{BOC}.
\)

3. Площадь трапеции равна сумме площадей всех четырех треугольников, образованных диагоналями:
\(
S_{ABCD} = \left(\sqrt{S_{BOC}} + \sqrt{S_{AOD}}\right)^2.
\)

4. Подставим значения \(S_{ABCD} = 16\) и \(S_{BOC} = 3\) в уравнение:
\(
16 = \left(\sqrt{3} + \sqrt{S_{AOD}}\right)^2.
\)

5. Раскроем скобки:
\(
16 = 3 + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{S_{AOD}} + S_{AOD}.
\)

6. Преобразуем уравнение:
\(
S_{AOD} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{S_{AOD}} + 3 = 16.
\)

7. Упростим:
\(
S_{AOD} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{S_{AOD}} = 13.
\)

8. Введем замену: \(\sqrt{S_{AOD}} = x\), тогда \(S_{AOD} = x^2\). Уравнение примет вид:
\(
x^2 + 2\sqrt{3}x — 13 = 0.
\)

9. Решим квадратное уравнение по формуле:
\(
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a},
\)
где \(a = 1\), \(b = 2\sqrt{3}\), \(c = -13\).

10. Найдем дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (2\sqrt{3})^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 12 + 52 = 64.
\)

11. Найдем корни:
\(
x = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 8}{2}.
\)

12. Первый корень:
\(
x_1 = \frac{-2\sqrt{3} + 8}{2} = 4 — \sqrt{3}.
\)

13. Второй корень:
\(
x_2 = \frac{-2\sqrt{3} — 8}{2} = -4 — \sqrt{3}.
\)

14. Поскольку \(x > 0\), выбираем \(x_1 = 4 — \sqrt{3}\).

15. Возвращаемся к \(S_{AOD}\):
\(
S_{AOD} = x^2 = (4 — \sqrt{3})^2 = 16 — 8\sqrt{3} + 3 = 9 — 8\sqrt{3}.
\)

16. Таким образом, \(S_{BOC} = 1 \, \text{см}^2\), \(S_{AOD} = 9 \, \text{см}^2\).