ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что \(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}\), где \(h_1, h_2\) и \(h_3\) — высоты треугольника, \(r\) — радиус вписанной окружности.

Для треугольника с высотами \(h_1, h_2, h_3\) и радиусом вписанной окружности \(r\) выполняется равенство:

\(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}\).

Доказательство:

1. Площадь треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1\), откуда \(h_1 = \frac{2S}{a}\).
2. Аналогично, \(h_2 = \frac{2S}{b}\) и \(h_3 = \frac{2S}{c}\).
3. Подставим в левую часть: \(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a}{2S} + \frac{b}{2S} + \frac{c}{2S} = \frac{a + b + c}{2S}\).
4. Полупериметр \(p = \frac{a + b + c}{2}\), следовательно, \(a + b + c = 2p\).
5. Тогда \(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{2p}{2S} = \frac{p}{S}\).
6. Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p}\), откуда \(\frac{p}{S} = \frac{1}{r}\).

Итак, \(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}\).

Для доказательства равенства \(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}\), где \(h_1, h_2, h_3\) — высоты треугольника, а \(r\) — радиус вписанной окружности, следуем следующим шагам.

1. Начнем с определения высот треугольника. Высота \(h_1\), проведенная из вершины \(A\) к стороне \(a\), выражается через площадь \(S\) треугольника:
\(h_1 = \frac{2S}{a}\). Аналогично для высот \(h_2\) и \(h_3\):
\(h_2 = \frac{2S}{b}\) и \(h_3 = \frac{2S}{c}\).

2. Теперь подставим эти выражения в левую часть уравнения:
\(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a}{2S} + \frac{b}{2S} + \frac{c}{2S}\).

3. Объединим дроби:
\(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a + b + c}{2S}\).

4. Обозначим полупериметр треугольника как \(p = \frac{a + b + c}{2}\). Это важно, так как полупериметр помогает связать стороны треугольника и его площадь.

5. Подставим выражение для \(a + b + c\) в предыдущую формулу:
\(a + b + c = 2p\), тогда:
\(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{2p}{2S} = \frac{p}{S}\).

6. Теперь вспомним, что радиус вписанной окружности \(r\) можно выразить через площадь и полупериметр:
\(r = \frac{S}{p}\).

7. Перепишем это выражение, чтобы получить \(\frac{p}{S}\):
\(\frac{p}{S} = \frac{1}{r}\).

8. Теперь мы можем подставить это в наше уравнение:
\(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}\).

9. Таким образом, мы пришли к искомому равенству, которое и требовалось доказать.

10. В итоге, все шаги подтверждают, что \(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}\).