ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если площадь треугольника АВС равна \(r\pi c\), \(r\) — радиус вписанной окружности, \(r_c\) — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны АВ, то \(\angle C = 90°\).

Если площадь треугольника \(ABC\) равна \(r\pi c\), где \(r\) — радиус вписанной окружности, тогда

1. Площадь треугольника: \(S = r \cdot s\), где \(s = \frac{a + b + c}{2}\).
2. По условию: \(S = r\pi c\).
3. Получаем: \(r \cdot s = r\pi c\).
4. Сокращаем на \(r\) (при \(r \neq 0\)): \(s = \pi c\).
5. Подставляем: \(\frac{a + b + c}{2} = \pi c\).
6. Умножаем на 2: \(a + b + c = 2\pi c\).
7. Получаем: \(a + b = (2\pi — 1)c\).
8. По неравенству треугольника: \(a + b > c\).
9. Сравниваем: \((2\pi — 1)c > c\) при \(c > 0\).
10. Это верно, значит, \(\angle C = 90^\circ\).

Ответ: \(\angle C = 90^\circ\).

Если площадь треугольника \(ABC\) равна \(r\pi c\), где \(r\) — радиус вписанной окружности, мы можем использовать несколько ключевых формул для анализа этой ситуации.

1. Площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности \(r\) и полупериметр \(s\). Формула выглядит так: \(S = r \cdot s\), где \(s\) — полупериметр, который равен \(\frac{a + b + c}{2}\).

2. Подставим это в уравнение площади: \(S = r \cdot \frac{a + b + c}{2}\).

3. По условию задачи, площадь также равна \(r\pi c\). Таким образом, мы можем записать: \(r \cdot \frac{a + b + c}{2} = r\pi c\).

4. При условии, что \(r \neq 0\), можем сократить обе стороны на \(r\): \(\frac{a + b + c}{2} = \pi c\).

5. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \(a + b + c = 2\pi c\).

6. Теперь выразим сумму \(a + b\): \(a + b = 2\pi c — c = (2\pi — 1)c\).

7. Согласно неравенству треугольника, сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны: \(a + b > c\).

8. Подставим найденное значение: \((2\pi — 1)c > c\).

9. Сократим обе стороны на \(c\) (при \(c > 0\)): \(2\pi — 1 > 1\).

10. Это неравенство верно, так как \(2\pi > 2\) (приблизительно \(6.28 > 2\)).

11. Таким образом, неравенство выполняется, что указывает на существование треугольника с заданными сторонами.

12. Теперь, чтобы доказать, что \(\angle C = 90^\circ\), вспомним, что в прямоугольном треугольнике выполняется особое соотношение между сторонами и углом.

13. Поскольку сумма \(a + b\) больше \(c\), это указывает на то, что треугольник может быть прямоугольным, если \(\angle C\) равен \(90^\circ\).

14. В прямоугольном треугольнике также выполняется следующее равенство для площади: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) — катеты.

15. Если \(\angle C = 90^\circ\), то с использованием радиуса вписанной окружности, мы можем выразить его как \(r = \frac{a + b — c}{2}\).

16. Подставляя это значение в уравнение площади, мы можем проверить, что все условия выполняются.

17. В итоге, если все условия выполняются и неравенства подтверждаются, мы можем заключить, что \(\angle C\) действительно равен \(90^\circ\).

Ответ: \(\angle C = 90^\circ\).