ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Касательная к окружности, вписанной в равносторонний треугольник АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите площадь треугольника MBN, если АВ = \(a\), MN = \(b\).

Площадь треугольника \( MBN \) можно найти следующим образом. Рассматриваем равносторонний треугольник \( ABC \) со стороной \( a \). Высота \( h \) равна \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \), а радиус вписанной окружности \( r \) составляет \( r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \). Длина отрезка \( MN \), касающегося окружности, равна \( b \). Площадь треугольника \( MBN \) вычисляется по формуле \( S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{MBN} \), где \( h_{MBN} = r \). Подставляя значения, получаем \( S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{a \sqrt{3}}{6} \), что упрощается до \( S_{MBN} = \frac{b a \sqrt{3}}{12} \). Для общего случая площадь треугольника равна \( S_{MBN} = \frac{a (a — 2b) \sqrt{3}}{12} \).

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = a\). В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают. Высота такого треугольника вычисляется по формуле \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\). Это значение высоты получается из свойства равностороннего треугольника, где высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника с углом \(60^\circ\) и гипотенузой, равной стороне треугольника. Радиус вписанной окружности равен \(r = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot a\). Этот радиус находится как отношение площади треугольника к его полупериметру, что для равностороннего треугольника упрощается до указанной формулы.

Касательная к вписанной окружности пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(N\), соответственно. Длина отрезка \(MN\), касающегося окружности, равна \(b\). Для нахождения площади треугольника \(MBN\) используем стандартную формулу площади через основание и высоту:
\(S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{MBN}\),
где \(h_{MBN}\) — высота треугольника \(MBN\), проведённая из вершины \(B\) на сторону \(MN\).

Высота \(h_{MBN}\) равна радиусу вписанной окружности, так как точка \(B\) лежит на окружности, а сторона \(MN\) является касательной. Следовательно:
\(h_{MBN} = r = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot a\).

Теперь подставим значение высоты \(h_{MBN}\) в формулу площади треугольника:
\(S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot a\).

Выполним упрощение выражения:
\(S_{MBN} = \frac{b \cdot a \cdot \sqrt{3}}{12}\).

Для общего случая, когда длина отрезка \(MN\) выражается через параметры равностороннего треугольника, площадь треугольника \(MBN\) можно записать в виде:
\(S_{MBN} = \frac{a \cdot (a — 2b) \cdot \sqrt{3}}{12}\).

Этот результат учитывает взаимосвязь между сторонами треугольника и длиной касательной \(MN\), а также геометрические свойства равностороннего треугольника и его вписанной окружности.