ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения точки на основании.

Сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высоте треугольника, проведенной из вершины к основанию. Обозначим высоту как \( h \). Тогда сумма расстояний \( S = h_1 + h_2 = h \), где \( h_1 \) и \( h_2 \) — расстояния от точки на основании до боковых сторон. Эта сумма не зависит от положения точки на основании.

Сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения точки на основании.

1. Пусть \( ABC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( BC \) и вершиной \( A \), где \( AB = AC \).
2. Обозначим точку \( D \) на основании \( BC \). Расстояние от точки \( D \) до стороны \( AB \) обозначим как \( h_1 \), а до стороны \( AC \) — как \( h_2 \).
3. Высота \( h \), проведенная из вершины \( A \) к основанию \( BC \), делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника \( ABD \) и \( ACD \).
4. Площадь треугольника \( ABC \) можно выразить через основание и высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \).
5. Площадь треугольника также можно выразить через расстояния \( h_1 \) и \( h_2 \): \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_2 \).
6. Поскольку \( AB = AC \), обозначим \( AB = AC = a \). Тогда площадь можно записать как \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (h_1 + h_2) \).
7. Приравняем два выражения для площади: \( \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (h_1 + h_2) \).
8. Упростим уравнение: \( BC \cdot h = a \cdot (h_1 + h_2) \).
9. Из этого уравнения видно, что сумма расстояний \( h_1 + h_2 = \frac{BC \cdot h}{a} \) остается постоянной при любом положении точки \( D \) на основании \( BC \).
10. Таким образом, сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высоте треугольника и не зависит от положения точки на основании.