ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.41 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон является постоянной для данного треугольника.

Сумма расстояний от произвольной точки до сторон равностороннего треугольника равна постоянной величине, равной \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \), где \( a \) — длина стороны треугольника.

Сумма расстояний от произвольной точки до сторон равностороннего треугольника является постоянной величиной. Рассмотрим равносторонний треугольник \( ABC \) со стороной \( a \).

1. Обозначим расстояния от точки \( P \) до сторон \( BC \), \( CA \) и \( AB \) как \( d_1 \), \( d_2 \) и \( d_3 \) соответственно.

2. Площадь треугольника \( ABC \) можно вычислить по формуле площади через сторону и высоту:
\(
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\)

3. Площадь треугольника также может быть выражена как сумма площадей треугольников \( ABP \), \( BCP \) и \( CAP \):
\(
S_{ABP} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d_3 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_3
\)
\(
S_{BCP} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot d_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_1
\)
\(
S_{CAP} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_2
\)

4. Тогда общая площадь треугольника \( ABC \) равна:
\(
S_{ABC} = S_{ABP} + S_{BCP} + S_{CAP} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_1 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_2 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_3
\)

5. Упрощаем выражение для площади:
\(
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (d_1 + d_2 + d_3)
\)

6. Приравниваем два выражения для площади:
\(
\frac{1}{2} \cdot a \cdot (d_1 + d_2 + d_3) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\)

7. Умножаем обе стороны на \( 2 \):
\(
a \cdot (d_1 + d_2 + d_3) = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2
\)

8. Делим обе стороны на \( a \) (при \( a \neq 0 \)):
\(
d_1 + d_2 + d_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} a
\)

Таким образом, сумма расстояний от произвольной точки до сторон равностороннего треугольника равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} a \).