ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника, делит его на два равновеликих четырёхугольника. Докажите, что эти стороны параллельны.

Для доказательства того, что отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника, делит его на два равновеликих четырёхугольника, воспользуемся следующими рассуждениями.

Обозначим четырёхугольник как \(ABCD\), где \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно.

Площадь четырёхугольника \(ABCD\) можно выразить через площади \(ABMN\) и \(CDMN\):
\(
S_{ABCD} = S_{ABMN} + S_{CDMN}
\)

Поскольку \(M\) и \(N\) — середины, то отрезок \(MN\) делит \(ABCD\) на два равновеликих четырёхугольника:
\(
S_{ABMN} = S_{CDMN}
\)

Таким образом, \(S_{ABMN} = S_{CDMN}\) означает, что отрезок \(MN\) параллелен отрезкам \(AB\) и \(CD\).

Следовательно, стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны.

Обозначим выпуклый четырёхугольник как \(ABCD\), где \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — его вершины. Пусть \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Нам нужно доказать, что стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, если отрезок \(MN\), соединяющий середины этих сторон, делит четырёхугольник \(ABCD\) на два равновеликих четырёхугольника.

1. Точки \(M\) и \(N\) являются серединами сторон \(AB\) и \(CD\). Это означает:
\(M = \frac{A + B}{2}, \quad N = \frac{C + D}{2}\).

2. Отрезок \(MN\) делит четырёхугольник \(ABCD\) на два меньших четырёхугольника: \(ABMN\) и \(CDMN\). По условию задачи, площади этих четырёхугольников равны:
\(S_{ABMN} = S_{CDMN}\).

3. Площадь четырёхугольника \(ABCD\) выражается через сумму площадей двух частей:
\(S_{ABCD} = S_{ABMN} + S_{CDMN}\).

4. Из равенства \(S_{ABMN} = S_{CDMN}\) следует, что отрезок \(MN\) делит четырёхугольник \(ABCD\) на две равновеликие части. Это возможно только в случае, если отрезок \(MN\) параллелен сторонам \(AB\) и \(CD\).

5. Рассмотрим координаты точек \(M\) и \(N\). Вектор, соединяющий точки \(M\) и \(N\), имеет координаты:
\(MN = N — M = \frac{C + D}{2} — \frac{A + B}{2} = \frac{(C — A) + (D — B)}{2}\).

6. Если отрезок \(MN\) параллелен стороне \(AB\), то выполняется условие:
\(MN = k \cdot AB, \quad k \in \mathbb{R}\).

7. Аналогично, если \(MN\) параллелен стороне \(CD\), то выполняется:
\(MN = m \cdot CD, \quad m \in \mathbb{R}\).

8. Поскольку площади \(S_{ABMN}\) и \(S_{CDMN}\) равны, это указывает на то, что стороны \(AB\) и \(CD\) должны быть параллельны. Если бы стороны \(AB\) и \(CD\) не были параллельны, то отрезок \(MN\) не мог бы делить четырёхугольник \(ABCD\) на равновеликие части.

9. Таким образом, отрезок \(MN\), соединяющий середины сторон \(AB\) и \(CD\), параллелен этим сторонам, а значит, стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны.

Следовательно, доказано, что стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны.