ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.43 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Каждая диагональ четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.

Если диагонали четырехугольника делят его на равновеликие треугольники, то:

1. Площадь \( S_{ABC} = S_{ACD} \) означает, что \( AB \cdot h_1 = CD \cdot h_2 \).
2. Площадь \( S_{ABD} = S_{BCD} \) означает, что \( AB \cdot h_3 = CD \cdot h_4 \).

Так как \( AB = CD \) и высоты равны, то \( AB \parallel CD \) и \( AD \parallel BC \).

Следовательно, четырехугольник \( ABCD \) является параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник \( ABCD \) с диагоналями \( AC \) и \( BD \). По условию, диагонали делят четырехугольник на равновеликие треугольники.

1. Площадь треугольника \( \triangle ABC \) равна площади треугольника \( \triangle ACD \). Обозначим их площади как \( S_{ABC} \) и \( S_{ACD} \): \( S_{ABC} = S_{ACD} \).

2. Площадь треугольника \( \triangle ABD \) равна площади треугольника \( \triangle BCD \). Обозначим их площади как \( S_{ABD} \) и \( S_{BCD} \): \( S_{ABD} = S_{BCD} \).

3. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту. Для \( \triangle ABC \) и \( \triangle ACD \) имеем: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 \) и \( S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2 \), где \( h_1 \) — высота, опущенная из точки \( C \) на сторону \( AB \), а \( h_2 \) — высота, опущенная из точки \( D \) на сторону \( AC \).

4. Из равенства площадей \( S_{ABC} = S_{ACD} \) получаем: \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2 \). Упрощая, получаем: \( AB \cdot h_1 = CD \cdot h_2 \).

5. Аналогично для треугольников \( \triangle ABD \) и \( \triangle BCD \): \( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_3 \) и \( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_4 \), где \( h_3 \) — высота, опущенная из точки \( D \) на сторону \( AB \), а \( h_4 \) — высота, опущенная из точки \( C \) на сторону \( BD \).

6. Из равенства площадей \( S_{ABD} = S_{BCD} \) получаем: \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_3 = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_4 \). Упрощая, получаем: \( AB \cdot h_3 = CD \cdot h_4 \).

7. Теперь у нас есть два уравнения: \( AB \cdot h_1 = CD \cdot h_2 \) и \( AB \cdot h_3 = CD \cdot h_4 \).

8. Если \( AB \) и \( CD \) равны, то \( h_1 = h_2 \) и \( h_3 = h_4 \), что указывает на равенство высот, проведенных из противоположных вершин, что в свою очередь означает, что стороны \( AB \) и \( CD \) параллельны.

9. Аналогично, если \( AD \) и \( BC \) также равны, то высоты, проведенные из точек \( B \) и \( D \) на линию \( AC \), будут равны, что также указывает на параллельность.

10. Таким образом, если обе пары противоположных сторон равны и параллельны, то четырехугольник \( ABCD \) является параллелограммом.

Следовательно, мы доказали, что четырехугольник, у которого диагонали делят его на равновеликие треугольники, является параллелограммом.