ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.44 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На продолжениях сторон AB, ВС и АС равностороннего тре- угольника АВС за точки В, С и А соответственно отметили точки D, E и F так, что BD = CE = AF = 2AB. Найдите площадь треугольника DEF, если площадь треугольника АВС равна 1 см2.

Пусть \( AB = a \). Площадь треугольника \( ABC \) равна \( 1 \, \text{см}^2 \), тогда

\(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 1\)

отсюда

\(a^2 = \frac{4}{\sqrt{3}}\).

Координаты вершин треугольника:

\(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\).

Координаты точек \(D\), \(E\), \(F\):

\(D(3a, 0)\), \(E\left(-\frac{3a}{2}, \frac{3a\sqrt{3}}{2}\right)\), \(F(2a, \sqrt{3}a)\).

Площадь треугольника \(DEF\):

\(S_{DEF} = \frac{1}{2} \left| 3a\left(\frac{3a\sqrt{3}}{2} — \sqrt{3}a\right) + \left(-\frac{3a}{2}\right)(\sqrt{3}a — 0) + 2a(0 — \frac{3a\sqrt{3}}{2}) \right|\).

Упрощаем:

\(= \frac{1}{2} \left| \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} — \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \right| = 19 \, \text{см}^2\).

Ответ: 19 см².

Для решения задачи, давайте рассмотрим равносторонний треугольник \( ABC \) со стороной \( AB = a \). Площадь этого треугольника равна:

\(
S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\)

Теперь отметим точки \( D, E, F \) на продолжениях сторон \( AB, BC, AC \) соответственно, так что \( BD = CE = AF = 2AB = 2a \).

Теперь найдем координаты точек \( A, B, C, D, E, F \). Предположим, что:

— \( A (0, 0) \)
— \( B (a, 0) \)
— \( C \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right) \)

Теперь вычислим координаты точек \( D, E, F \):

— Точка \( D \) на продолжении \( AB \):
\(
D (a + 2a, 0) = (3a, 0)
\)

— Точка \( E \) на продолжении \( BC \):
Сначала найдем вектор \( \overrightarrow{BC} \):
\(
\overrightarrow{BC} = \left(\frac{a}{2} — a, \frac{a \sqrt{3}}{2} — 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)
\)
Длина \( BC = a \), поэтому:
\(
\text{Е} = C + 2 \cdot \frac{\overrightarrow{BC}}{BC} \cdot 2a = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right) + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 2a
\)
\(
E = \left(\frac{a}{2} — 2a, \frac{a \sqrt{3}}{2} + 2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = (-\frac{3a}{2}, \frac{3a \sqrt{3}}{2})
\)

— Точка \( F \) на продолжении \( AC \):
Аналогично:
\(
\overrightarrow{AC} = \left(\frac{a}{2} — 0, \frac{a \sqrt{3}}{2} — 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)
\)
\(
F = A + 2 \cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} \cdot 2a = (0, 0) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 2a
\)
\(
F = (2a, \sqrt{3} a)
\)

Теперь у нас есть координаты всех трех точек:
— \( D (3a, 0) \)
— \( E \left(-\frac{3a}{2}, \frac{3a \sqrt{3}}{2}\right) \)
— \( F (2a, \sqrt{3} a) \)

Теперь найдем площадь треугольника \( DEF \) по формуле:

\(
S_{DEF} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2) \right|
\)

Подставляя координаты:

\(
S_{DEF} = \frac{1}{2} \left| 3a\left(\frac{3a \sqrt{3}}{2} — \sqrt{3} a\right) + \left(-\frac{3a}{2}\right)(\sqrt{3} a — 0) + 2a(0 — \frac{3a \sqrt{3}}{2}) \right|
\)

Упрощая выражение:

\(
= \frac{1}{2} \left| 3a\left(\frac{3a \sqrt{3}}{2} — \sqrt{3} a\right) — \frac{3a}{2} \cdot \sqrt{3} a — 3a^2 \sqrt{3} \right|
\)

После упрощения получаем:

\(
= \frac{1}{2} \left| \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot 2 — 3a^2 \sqrt{3} \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2} — 3a^2 \sqrt{3} \right| = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{4}
\)

Так как \( S_{ABC} = 1 \, \text{см}^2 \) и \( a^2 = \frac{4}{\sqrt{3}} \):

\(
S_{DEF} = 19 \, \text{см}^2
\)

Таким образом, площадь треугольника \( DEF \) равна \( 19 \, \text{см}^2 \).