ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.45 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник ВСМ, быть в 2 раза меньше, чем радиус окружности, вписанной в треугольник АВС?

Нет. Пусть \( r \) и \( r_1 \) — радиусы окружностей, вписанных в треугольники \( ABC \) и \( BMC \) соответственно, и \( r = 2r_1 \). Тогда \( S_{BMC} = \frac{1}{2} S_{ABC} \) можно записать как \( r_1 \cdot p_{BMC} = \frac{1}{2} (r \cdot p_{ABC}) \). Подставим \( r = 2r_1 \): \( r_1 \cdot p_{BMC} = r_1 \cdot p_{ABC} \). Делим обе стороны на \( r_1 \) (при \( r_1 \neq 0 \)): \( p_{BMC} = p_{ABC} \). Это противоречит предположению, что \( r = 2r_1 \).

Нет. Рассмотрим треугольник \( ABC \) с медианой \( BM \). Обозначим радиусы вписанных окружностей треугольников \( ABC \) и \( BMC \) как \( r \) и \( r_1 \) соответственно. Предположим, что \( r = 2r_1 \).

Согласно формуле для площади треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр, площадь треугольника \( ABC \) можно выразить как \( S_{ABC} = r \cdot p_{ABC} \), где \( p_{ABC} \) — полупериметр треугольника \( ABC \).

Для треугольника \( BMC \) площадь будет равна \( S_{BMC} = r_1 \cdot p_{BMC} \).

Согласно условию, мы знаем, что \( S_{BMC} = \frac{1}{2} S_{ABC} \). Подставим выражения для площадей:

\(
r_1 \cdot p_{BMC} = \frac{1}{2} (r \cdot p_{ABC}).
\)

Теперь подставим \( r = 2r_1 \):

\(
r_1 \cdot p_{BMC} = \frac{1}{2} (2r_1 \cdot p_{ABC}).
\)

Упрощаем уравнение:

\(
r_1 \cdot p_{BMC} = r_1 \cdot p_{ABC}.
\)

Делим обе стороны на \( r_1 \) (при условии, что \( r_1 \neq 0 \)):

\(
p_{BMC} = p_{ABC}.
\)

Это означает, что периметры треугольников \( ABC \) и \( BMC \) равны. Однако, если радиус окружности, вписанной в треугольник \( BMC \), в 2 раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник \( ABC \), то это противоречит равенству периметров.

Таким образом, предположение о том, что \( r = 2r_1 \), неверно. Следовательно, радиус окружности, вписанной в треугольник \( BMC \), не может быть в 2 раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник \( ABC \).