ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что если \(S_{ABCD} = \sqrt{S_{SAOD} + S_{SCOB}}\), то AD ∥ BC.

Если \( S_{ABCD} = \sqrt{S_{SAOD} + S_{SCOB}} \), то \( AD \parallel BC \).

Доказательство:

1. Площадь четырехугольника \( ABCD \) равна сумме площадей треугольников: \( S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA} \).
2. По условию \( S_{ABCD}^2 = S_{SAOD} + S_{SCOB} \).
3. Если \( AD \parallel BC \), то \( S_{SAOD} = S_{SCOB} \).
4. Таким образом, \( S_{ABCD}^2 = 2S_{SAOD} \).
5. Следовательно, \( S_{ABCD} = \sqrt{2S_{SAOD}} \), что совпадает с условием.

Вывод: \( AD \parallel BC \).

Рассмотрим выпуклый четырехугольник \( ABCD \) с пересечением диагоналей в точке \( O \). Нам дано условие \( S_{ABCD} = \sqrt{S_{SAOD} + S_{SCOB}} \), где \( S_{SAOD} \) и \( S_{SCOB} \) — площади треугольников \( SAOD \) и \( SCOB \) соответственно.

1. Площадь четырехугольника \( ABCD \) можно выразить через площади треугольников, образованных его диагоналями, то есть:
\( S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA} \).

2. Точка \( S \) — это точка, в которой пересекаются диагонали \( AC \) и \( BD \). Площадь треугольника \( SAOD \) равна половине произведения основания \( AO \) на высоту от точки \( S \) до прямой \( AD \), а площадь \( SCOB \) — половине произведения основания \( BO \) на высоту от точки \( S \) до прямой \( BC \).

3. По условию задачи мы имеем:
\( S_{ABCD} = \sqrt{S_{SAOD} + S_{SCOB}} \).

4. Возведем обе стороны в квадрат:
\( S_{ABCD}^2 = S_{SAOD} + S_{SCOB} \).

5. Рассмотрим, что если \( AD \parallel BC \), то площади треугольников \( SAOD \) и \( SCOB \) будут равны, так как они имеют одинаковую высоту, проведенную из точки \( S \) на прямые \( AD \) и \( BC \). Это означает, что:
\( S_{SAOD} = S_{SCOB} \).

6. Подставим это равенство в уравнение:
\( S_{ABCD}^2 = S_{SAOD} + S_{SAOD} = 2S_{SAOD} \).

7. Таким образом, мы можем выразить площадь четырехугольника \( ABCD \) следующим образом:
\( S_{ABCD}^2 = 2S_{SAOD} \), откуда \( S_{ABCD} = \sqrt{2S_{SAOD}} \).

8. Теперь вернемся к нашему исходному условию: если \( S_{ABCD} = \sqrt{S_{SAOD} + S_{SCOB}} \), то это равенство выполняется только в случае, если \( S_{SAOD} = S_{SCOB} \).

9. Если \( S_{SAOD} = S_{SCOB} \), это подтверждает, что \( AD \parallel BC \), так как только при этом условии площади этих треугольников будут равны.

10. Следовательно, мы пришли к выводу, что если выполняется условие \( S_{ABCD} = \sqrt{S_{SAOD} + S_{SCOB}} \), то \( AD \parallel BC \).