ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.50 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Два параллелограмма расположены так, что они имеют общую вершину, а ещё одна вершина каждого из параллелограммов лежит на стороне другого параллелограмма (рис. 25.9). Докажите, что площади этих параллелограммов равны.

Пусть параллелограммы \(ABCD\) и \(ADEF\) имеют общую вершину \(A\). Обозначим \(B\) и \(D\) как вершины первого параллелограмма, а \(C\) и \(E\) как вершины второго параллелограмма.

Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(S_1 = AB \cdot h_1\), где \(h_1\) — высота из точки \(C\) на сторону \(AB\). Площадь параллелограмма \(ADEF\) равна \(S_2 = AD \cdot h_2\), где \(h_2\) — высота из точки \(E\) на сторону \(AD\).

Так как \(h_1 = h_2\) и \(AB = AD\), то \(S_1 = S_2\). Следовательно, площади параллелограммов равны.

Рассмотрим два параллелограмма \(ABCD\) и \(ADEF\), которые имеют общую вершину \(A\). Обозначим вершины первого параллелограмма как \(B\) и \(D\), а второго параллелограмма как \(C\) и \(E\). Вершины \(C\) и \(E\) расположены на сторонах \(AD\) и \(AB\) соответственно.

1. Площадь параллелограмма определяется как произведение основания на высоту. Для параллелограмма \(ABCD\) площадь \(S_1\) равна:
\(
S_1 = AB \cdot h_1
\)
где \(h_1\) — это высота, опущенная из точки \(C\) на сторону \(AB\).

2. Аналогично, для параллелограмма \(ADEF\) площадь \(S_2\) равна:
\(
S_2 = AD \cdot h_2
\)
где \(h_2\) — это высота, опущенная из точки \(E\) на сторону \(AD\).

3. Теперь рассмотрим высоты \(h_1\) и \(h_2\). Так как оба параллелограмма имеют общую вершину \(A\) и вершины \(C\) и \(E\) находятся на сторонах \(AB\) и \(AD\), соответственно, высоты \(h_1\) и \(h_2\) будут равны. Это происходит потому, что высоты измеряются перпендикулярно к основанию от одной и той же точки \(A\).

4. Таким образом, мы можем записать:
\(
h_1 = h_2
\)

5. Теперь нужно сравнить основания \(AB\) и \(AD\). В параллелограммах противоположные стороны равны, следовательно, если \(AB\) и \(AD\) являются сторонами параллелограммов, то они также равны:
\(
AB = AD
\)

6. Теперь, подставляя равенства \(h_1 = h_2\) и \(AB = AD\) в формулы для площадей, получаем:
\(
S_1 = AB \cdot h_1
\)
\(
S_2 = AD \cdot h_2
\)

7. Подставляя равные значения, мы имеем:
\(
S_1 = AB \cdot h_2
\)
\(
S_2 = AB \cdot h_2
\)

8. Таким образом, площади параллелограммов равны:
\(
S_1 = S_2
\)

9. Мы пришли к выводу, что площади параллелограммов \(ABCD\) и \(ADEF\) равны, так как обе площади зависят от одинаковых оснований и высот.

10. Следовательно, площадь параллелограмма \(ABCD\) равна площади параллелограмма \(ADEF\).