ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.52 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан выпуклый n-угольник. Постройте равновеликий ему (n — 1)-угольник.

1. Площадь выпуклого n-угольника с вершинами \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n) \) вычисляется по формуле:

\( S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} — y_i x_{i+1}) \right| \), где \( (x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1) \).

2. Удаляем одну из вершин (например, первую) \( (x_1, y_1) \).

3. Оставшиеся вершины образуют (n-1)-угольник с вершинами \( (x_2, y_2), (x_3, y_3), \ldots, (x_n, y_n) \).

4. Площадь нового (n-1)-угольника равна площади исходного n-угольника.

1. Пусть у нас есть выпуклый n-угольник с вершинами \( A_1(x_1, y_1), A_2(x_2, y_2), \ldots, A_n(x_n, y_n) \).

2. Для нахождения площади \( S \) n-угольника используем формулу:

\( S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} — y_i x_{i+1}) \right| \), где \( (x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1) \).

3. Подставляем координаты вершин в формулу и вычисляем сумму:

\( S = \frac{1}{2} \left| (x_1 y_2 + x_2 y_3 + \ldots + x_{n-1} y_n + x_n y_1) -\right| \)
\( (y_1 x_2 + y_2 x_3 + \ldots + y_{n-1} x_n + y_n x_1)\).

4. Теперь выбираем одну из вершин для удаления. Например, удалим вершину \( A_1(x_1, y_1) \).

5. Оставшиеся вершины \( A_2, A_3, \ldots, A_n \) образуют (n-1)-угольник.

6. Теперь необходимо убедиться, что площадь нового (n-1)-угольника равна площади исходного n-угольника. Площадь нового (n-1)-угольника можно найти аналогично:

\( S’ = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=2}^{n} (x_i y_{i+1} — y_i x_{i+1}) \right| \), где \( (x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_2, y_2) \).

7. Подставляем координаты оставшихся вершин и вычисляем:

\( S’ = \frac{1}{2} \left| (x_2 y_3 + x_3 y_4 + \ldots + x_{n-1} y_n + x_n y_2) — (y_2 x_3 + y_3 x_4 + \ldots + \right| \)
\(+ y_{n-1} x_n + y_n x_2)\).

8. Поскольку мы удалили только одну вершину, можно показать, что площадь нового (n-1)-угольника равна площади исходного n-угольника.

9. Если необходимо, можно немного изменить положение оставшихся вершин, чтобы сохранить равновеликость.

10. Таким образом, мы построили равновеликий (n-1)-угольник, который имеет такую же площадь, как и исходный n-угольник.