ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.53 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место точек Х таких, что \(S_{ABX} + S_{CDX} = S_{BCX} + S_{ADX}\)
Геометрическое место точек \(X\), удовлетворяющее условию \(S_{ABX} + S_{CDX} = S_{BCX} + S_{ADX}\), — это все точки квадрата, не принадлежащие его сторонам, и прямые, содержащие диагонали квадрата, за исключением точек \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\).
Геометрическое место точек \(X\), удовлетворяющее условию \(S_{ABX} + S_{CDX} = S_{BCX} + S_{ADX}\), можно найти следующим образом.
1. Рассмотрим квадрат \(ABCD\) с вершинами \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(a, a)\), \(D(0, a)\), где \(a\) — длина стороны квадрата.
2. Площадь треугольника можно рассчитать по формуле:
\(
S_{XYZ} = \frac{1}{2} \cdot |x_X(y_Y — y_Z) + x_Y(y_Z — y_X) + x_Z(y_X — y_Y)|
\)
3. Найдем площади треугольников:
— Для \(S_{ABX}\):
\(
S_{ABX} = \frac{1}{2} \cdot |0 \cdot (0 — y_X) + a \cdot (y_X — 0) + x_X(0 — 0)| = \frac{1}{2} \cdot a \cdot y_X
\)
— Для \(S_{CDX}\):
\(
S_{CDX} = \frac{1}{2} \cdot |a \cdot (a — y_X) + 0 \cdot (y_X — a) + x_X(a — a)| = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a — y_X)
\)
— Для \(S_{BCX}\):
\(
S_{BCX} = \frac{1}{2} \cdot |a \cdot (0 — y_X) + a \cdot (y_X — a) + x_X(0 — 0)| = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (y_X — a)
\)
— Для \(S_{ADX}\):
\(
S_{ADX} = \frac{1}{2} \cdot |0 \cdot (y_X — a) + 0 \cdot (a — 0) + x_X(0 — y_X)| = \frac{1}{2} \cdot x_X \cdot y_X
\)
4. Подставим найденные площади в уравнение:
\(
\frac{1}{2} \cdot a \cdot y_X + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a — y_X) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (y_X — a) + \frac{1}{2} \cdot x_X \cdot y_X
\)
5. Упростим уравнение:
\(
\frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (y_X — a) + \frac{1}{2} \cdot x_X \cdot y_X
\)
\(
a^2 = a \cdot (y_X — a) + x_X \cdot y_X
\)
6. Переносим все в одну сторону:
\(
a^2 — a \cdot y_X + a^2 — x_X \cdot y_X = 0
\)
\(
2a^2 — y_X(a + x_X) = 0
\)
7. Из этого уравнения видно, что точки \(X\) должны находиться на прямых, содержащих диагонали квадрата, и не должны принадлежать его сторонам, иначе некоторые площади будут равны нулю.
Таким образом, геометрическое место точек \(X\) — это все точки квадрата, не принадлежащие его сторонам, и прямые, содержащие диагонали квадрата, за исключением точек \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\).
