ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.54 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки E, F, К и L — середины сторон четырёхугольника ABCD (рис. 25.10). Докажите, что сумма площадей треугольников ALM, BNE, CPF и KQD равна площади четырёхугольника MNPQ.

Для доказательства, что сумма площадей треугольников \( ALM \), \( BNE \), \( CPF \) и \( KQD \) равна площади четырёхугольника \( MNPQ \), обозначим \( S_{ABCD} \) как площадь \( ABCD \) и \( S_{MNPQ} \) как площадь \( MNPQ \). Точки \( E, F, K, L \) являются серединами сторон \( AB, BC, CD, DA \). Четырёхугольник \( EFKL \) равен половине площади \( ABCD \): \( S_{EFKL} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \). Площадь \( MNPQ \) также равна \( S_{MNPQ} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Площади треугольников: \( S_{ALM} = \frac{1}{2} S_{ABD} \), \( S_{BNE} = \frac{1}{2} S_{BCD} \), \( S_{CPF} = \frac{1}{2} S_{CDA} \), \( S_{KQD} = \frac{1}{2} S_{DAB} \). Суммируя, получаем \( S_{ALM} + S_{BNE} + S_{CPF} + S_{KQD} = \frac{1}{2} (S_{ABD} + S_{BCD} + S_{CDA} + S_{DAB}) =\)
\(= \frac{1}{2} S_{ABCD} \). Таким образом, \( S_{ALM} + S_{BNE} + S_{CPF} + S_{KQD} = S_{MNPQ} \).

Для доказательства того, что сумма площадей треугольников \( ALM \), \( BNE \), \( CPF \) и \( KQD \) равна площади четырёхугольника \( MNPQ \), начнём с обозначений.

Обозначим:
— \( S_{ABCD} \) — площадь четырёхугольника \( ABCD \).
— \( S_{MNPQ} \) — площадь четырёхугольника \( MNPQ \).
— \( S_{ALM} \), \( S_{BNE} \), \( S_{CPF} \), \( S_{KQD} \) — площади треугольников соответственно.

Точки \( E, F, K, L \) являются серединами сторон \( AB, BC, CD, DA \) соответственно. По свойству средних линий, четырёхугольник, образованный соединением этих точек, будет параллелен и равен по площади половине площади четырёхугольника \( ABCD \):
\( S_{EFKL} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Четырёхугольник \( MNPQ \) образован пересечениями диагоналей \( AC \) и \( BD \) с линиями, соединяющими середины сторон. Площадь этого четырёхугольника также равна половине площади четырёхугольника \( ABCD \):
\( S_{MNPQ} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Теперь рассмотрим площади треугольников:
Площадь треугольника \( ALM \) равна половине площади треугольника \( ABD \):
\( S_{ALM} = \frac{1}{2} S_{ABD} \).
Площадь треугольника \( BNE \) равна половине площади треугольника \( BCD \):
\( S_{BNE} = \frac{1}{2} S_{BCD} \).
Площадь треугольника \( CPF \) равна половине площади треугольника \( CDA \):
\( S_{CPF} = \frac{1}{2} S_{CDA} \).
Площадь треугольника \( KQD \) равна половине площади треугольника \( DAB \):
\( S_{KQD} = \frac{1}{2} S_{DAB} \).

Суммируя площади треугольников, получаем:
\( S_{ALM} + S_{BNE} + S_{CPF} + S_{KQD} = \frac{1}{2} S_{ABD} + \frac{1}{2} S_{BCD} + \frac{1}{2} S_{CDA} + \frac{1}{2} S_{DAB} \).

Суммируя, получаем:
\( S_{ALM} + S_{BNE} + S_{CPF} + S_{KQD} = \frac{1}{2} (S_{ABD} + S_{BCD} + S_{CDA} + S_{DAB}) =\)
\(= \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Таким образом, мы имеем:
\( S_{ALM} + S_{BNE} + S_{CPF} + S_{KQD} = S_{MNPQ} \).