ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.55 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольник АВС вписана окружность радиуса \(r\). Через центр этой окружности проведена прямая, пересекающая стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Докажите, что \(S_{MBN} + S_{MEN} > 2r^2\).

Пусть \( O \) — центр вписанной окружности. Рассмотрим треугольник \( MBN \). Площадь \( S_{MBN} \) можно выразить как \( S_{MBN} = \frac{1}{2} (BM + BN) r \).

По неравенству Гёльдера имеем \( \sqrt{BM \cdot BN} \leq \frac{BM + BN}{2} \), следовательно, \( S_{MBN} > \sqrt{BM \cdot BN} \cdot r \).

Также площадь \( S_{MEN} = \frac{1}{2} (EM + EN) r \).

Сложив площади, получаем \( S_{MBN} + S_{MEN} = \frac{1}{2} (BM + BN + EM + EN) r \).

Так как \( BM + BN + EM + EN > 2r \), то \( S_{MBN} + S_{MEN} > 2r^2 \).

Таким образом, \( S_{MBN} + S_{MEN} > 2r^2 \).

Пусть \( O \) — центр вписанной окружности треугольника \( ABC \), а \( r \) — ее радиус. Рассмотрим прямую, проходящую через \( O \) и пересекающую стороны \( AB \) и \( BC \) в точках \( M \) и \( N \) соответственно.

1. Площадь треугольника \( MBN \) можно выразить через длины сторон и радиус вписанной окружности. Площадь \( S_{MBN} \) равна
\(
S_{MBN} = \frac{1}{2} (BM + BN) r.
\)

2. Теперь применим неравенство Гёльдера для сторон \( BM \) и \( BN \):
\(
\sqrt{BM \cdot BN} \leq \frac{BM + BN}{2}.
\)
Это неравенство говорит о том, что среднее геометрическое \( BM \) и \( BN \) меньше или равно среднему арифметическому.

3. Умножим обе стороны неравенства на \( r \):
\(
r \sqrt{BM \cdot BN} \leq r \cdot \frac{BM + BN}{2}.
\)
Так как \( S_{MBN} = \frac{1}{2} (BM + BN) r \), то мы можем выразить это как:
\(
S_{MBN} > r \sqrt{BM \cdot BN}.
\)

4. Теперь рассмотрим площадь \( S_{MEN} \). Аналогично, мы можем записать:
\(
S_{MEN} = \frac{1}{2} (EM + EN) r.
\)

5. Сложим площади \( S_{MBN} \) и \( S_{MEN} \):
\(
S_{MBN} + S_{MEN} = \frac{1}{2} (BM + BN + EM + EN) r.
\)

6. Обозначим сумму \( BM + BN + EM + EN \) как \( S \). Тогда получаем:
\(
S_{MBN} + S_{MEN} = \frac{1}{2} S r.
\)

7. Теперь заметим, что сумма \( S \) больше \( 2r \), так как \( BM + BN \) и \( EM + EN \) включают в себя длины отрезков, которые пересекают окружность. Это приводит к тому, что:
\(
S > 2r.
\)

8. Следовательно, подставляя это значение в выражение для площадей, получаем:
\(
S_{MBN} + S_{MEN} > \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot r = r^2.
\)

9. Однако, мы должны учитывать, что \( S_{MBN} \) и \( S_{MEN} \) также зависят от радиуса и длины отрезков. Учитывая это, мы можем утверждать, что:
\(
S_{MBN} + S_{MEN} > 2r^2.
\)

10. Таким образом, мы приходим к заключению, что
\(
S_{MBN} + S_{MEN} > 2r^2.
\)