ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.56 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Е. Известно, что \(S_{ARE} = S_{DCE} = 1 \text{ см}^2\), \(S_{ABCD} \leq 4 \text{ см}^2\), \(AD = 3 \text{ см}\). Найдите сторону ВС.

Площадь всего четырёхугольника можно выразить как:

\(
S_{ABCD} = S_{ARE} + S_{DCE} + S_{ABE} + S_{CDE}
\)

Поскольку \( S_{ARE} + S_{DCE} = 2 \text{ см}^2 \), то \( S_{ABE} + S_{CDE} \leq 2 \text{ см}^2 \).

По свойству площадей треугольников, имеющих общую вершину, имеем:

\(
\frac{S_{ARE}}{S_{CDE}} = \frac{AD}{BC}
\)

Подставляем известные значения:

\(
\frac{1}{1} = \frac{3}{BC}
\)

Решая это уравнение, получаем:

\(
BC = 3 \text{ см}
\)

Чтобы найти сторону \( BC \) в данном выпуклом четырёхугольнике \( ABCD \), начнём с анализа данных, которые нам известны из условия задачи.

1. Мы знаем, что диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( E \). Это означает, что точки \( A \), \( B \), \( C \), и \( D \) делятся на два треугольника: \( \triangle ARE \) и \( \triangle DCE \).

2. Из условия задачи нам даны площади этих треугольников: \( S_{ARE} = 1 \text{ см}^2 \) и \( S_{DCE} = 1 \text{ см}^2 \).

3. Площадь всего четырёхугольника \( ABCD \) можно выразить через площади треугольников, образованных диагоналями. Мы можем записать это уравнение как:

\(
S_{ABCD} = S_{ARE} + S_{DCE} + S_{ABE} + S_{CDE}
\)

4. Подставим известные значения в формулу. Из условия нам известно, что \( S_{ABCD} \leq 4 \text{ см}^2 \). Сначала найдем сумму площадей треугольников \( ABE \) и \( CDE \):

\(
S_{ABE} + S_{CDE} = S_{ABCD} — (S_{ARE} + S_{DCE}) = S_{ABCD} — 2 \text{ см}^2
\)

5. Так как \( S_{ABCD} \leq 4 \text{ см}^2 \), то:

\(
S_{ABE} + S_{CDE} \leq 4 \text{ см}^2 — 2 \text{ см}^2 = 2 \text{ см}^2
\)

6. Теперь рассмотрим соотношение площадей треугольников \( ARE \) и \( CDE \). Поскольку эти треугольники имеют общую высоту, их площади пропорциональны основаниям \( AD \) и \( BC \):

\(
\frac{S_{ARE}}{S_{CDE}} = \frac{AD}{BC}
\)

7. Подставим известные значения. Мы знаем, что \( S_{ARE} = 1 \text{ см}^2 \) и \( S_{CDE} = 1 \text{ см}^2 \). Также известно, что \( AD = 3 \text{ см} \):

\(
\frac{1}{1} = \frac{3}{BC}
\)

8. Решим это уравнение для \( BC \):

\(
1 = \frac{3}{BC}
\)

9. Умножим обе стороны на \( BC \):

\(
BC = 3 \text{ см}
\)

Таким образом, мы пришли к ответу: сторона \( BC \) равна \( 3 \text{ см} \).