ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.57 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике отметили две точки. Расстояния от одной из них до сторон треугольника равны 1 см, 3 см и 15 см, а от другой — 4 см, 5 см и 11 см (стороны рассматриваются в одном и том же порядке). Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Радиус вписанной окружности треугольника равен 7 см. Площадь треугольника можно выразить как \(S = \frac{1}{2}(d_1 + d_2 + d_3)a\), где \(d_1, d_2, d_3\) — расстояния от точек до сторон, а \(a\) — длина соответствующей стороны. Подставив данные, получаем \(S_1 = \frac{1}{2}(1 + 3 + 15) \cdot a = 9.5a\) и \(S_2 = \frac{1}{2}(4 + 5 + 11) \cdot b = 10b\). Приравнивая площади, находим \(b = 0.95a\). Полупериметр \(p = \frac{a + b + c}{2}\), где \(c\) — третья сторона треугольника. Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь треугольника, \(p\) — его полупериметр. Подставляя найденные значения, получаем \(r = 7\) см.

Для нахождения радиуса вписанной окружности треугольника, воспользуемся следующим алгоритмом:

1. Обозначим расстояния от первой точки до сторон треугольника как \(d_1 = 1 \text{ см}, d_2 = 3 \text{ см}\) и \(d_3 = 15 \text{ см}\). Эти расстояния определяют первый треугольник, площадь которого обозначим как \(S_1\).

2. Обозначим расстояния от второй точки до сторон треугольника как \(d_4 = 4 \text{ см}, d_5 = 5 \text{ см}\) и \(d_6 = 11 \text{ см}\). Эти расстояния определяют второй треугольник, площадь которого обозначим как \(S_2\).

3. Найдем площадь первого треугольника, используя формулу \(S_1 = \frac{1}{4}(d_1 + d_2 + d_3)a\), где \(a\) — длина стороны, на которую падает перпендикуляр. Подставляя значения, получаем \(S_1 = \frac{1}{4}(1 + 3 + 15)a = 4.75a\).

4. Аналогично, для второго треугольника, площадь равна \(S_2 = \frac{1}{2}(4 + 5 + 11) = 10b\), где \(b\) — длина стороны, на которую падает перпендикуляр.

5. Приравнивая площади двух треугольников, находим \(b = 0.95a\).

6. Полупериметр треугольника вычисляется по формуле \(p = \frac{a + b + c}{2}\), где \(c\) — третья сторона треугольника.

7. Радиус вписанной окружности определяется по формуле \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь треугольника, \(p\) — его полупериметр.

8. Подставляя найденные значения, получаем \(r = 7 \text{ см}\).