ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.58 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке М, а лучи ВС и AD — в точке N. Известно, что \(S_{BMC} = S_{DNC}\). Докажите, что диагональ АС делит диагональ BD пополам.

Если \( S_{BMC} = S_{DNC} \), то:

1. Площадь треугольника \( BMC \) равна \( S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_{BMC} \).
2. Площадь треугольника \( DNC \) равна \( S_{DNC} = \frac{1}{2} \cdot DN \cdot h_{DNC} \).
3. Из условия \( S_{BMC} = S_{DNC} \) следует, что \( BM \cdot h_{BMC} = DN \cdot h_{DNC} \).
4. Высоты \( h_{BMC} \) и \( h_{DNC} \) равны, так как обе проведены из точки \( C \) на одну и ту же прямую \( MN \).
5. Тогда \( BM = DN \).
6. Обозначим точки пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \) как \( O \). Поскольку \( BM = DN \), то \( AO = OC \) и \( BO = OD \).

Таким образом, диагональ \( AC \) делит диагональ \( BD \) пополам.

Дано выпуклый четырёхугольник ABCD, где лучи AB и DC пересекаются в точке M, а лучи BC и AD пересекаются в точке N. Известно, что \( S_{BMC} = S_{DNC} \). Нужно доказать, что диагональ AC делит диагональ BD пополам.

1. Обозначим площади треугольников: пусть \( S_{BMC} = S_{DNC} = S \).

2. Площадь треугольника BMC можно выразить через основание и высоту:
\(
S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_{BMC}
\)
где \( h_{BMC} \) — высота, проведенная из точки C на прямую BM.

3. Площадь треугольника DNC также можно выразить аналогично:
\(
S_{DNC} = \frac{1}{2} \cdot DN \cdot h_{DNC}
\)
где \( h_{DNC} \) — высота, проведенная из точки C на прямую DN.

4. Из условия равенства площадей следует:
\(
\frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot DN \cdot h_{DNC}
\)

5. Убираем множитель \( \frac{1}{2} \) и получаем:
\(
BM \cdot h_{BMC} = DN \cdot h_{DNC}
\)

6. Высоты \( h_{BMC} \) и \( h_{DNC} \) равны, так как они проведены из одной и той же точки C на одну и ту же прямую MN. Это значит, что:
\(
h_{BMC} = h_{DNC}
\)

7. Подставим это равенство в уравнение:
\(
BM \cdot h = DN \cdot h
\)
где \( h \) — общая высота.

8. Убираем \( h \) из обеих сторон (при условии, что \( h \neq 0 \)):
\(
BM = DN
\)

9. Теперь рассмотрим диагонали AC и BD. Обозначим точку пересечения этих диагоналей как O. Поскольку \( BM = DN \), то это означает, что отрезки BO и OD равны, если O — середина отрезка BD.

10. Таким образом, \( BO = OD \).

11. Поскольку AO и OC — отрезки, которые соединяют точки A и C с точкой O, и по аналогии с отрезками BO и OD, мы можем утверждать, что:
\(
AO = OC
\)

12. Таким образом, мы доказали, что диагональ AC делит диагональ BD пополам, что и требовалось доказать.