ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной b и углом при основании о равна \(\frac{1}{2} \cdot b^2 \cdot \sin о\).

Пусть \( \triangle ABC \) — равнобедренный треугольник, где \( AB = AC = b \), угол при основании \( \alpha \). Опускаем высоту \( AH \) на основание \( BC \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABH \): \( BH = b \cdot \sin \alpha \), \( AH = b \cdot \cos \alpha \). Так как \( H \) — середина \( BC \), то \( BC = 2b \cdot \sin \alpha \). Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot (2b \cdot \sin \alpha) \cdot (b \cdot \cos \alpha) = b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \)

Ответ: \( b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \)

25.8. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна \( b \), и угол при основании равен \( \alpha \).

Решение:

1. Пусть \( \triangle ABC \) — равнобедренный треугольник с вершинами \( A \), \( B \), \( C \). Боковые стороны \( AB = AC = b \), а угол при основании \( \angle CAB = \alpha \). Основание треугglesника обозначим как \( BC \).

2. Опустим высоту из вершины \( A \) на основание \( BC \), пусть точка пересечения высоты с основанием — это точка \( H \). Высота \( AH \) делит треугольник \( \triangle ABC \) на два равных прямоугольных треугольника \( \triangle ABH \) и \( \triangle ACH \).

3. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABH \):
— \( BH \) является проекцией гипотенузы \( AB \) на катет \( BC \).
— Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике: \( \sin \alpha = \frac{BH}{AB} \Rightarrow BH = AB \cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha \).
— Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике: \( \cos \alpha = \frac{AH}{AB} \Rightarrow AH = AB \cdot \cos \alpha = b \cdot \cos \alpha \).

4. Так как \( H \) — середина основания \( BC \), то длина всего основания \( BC \) будет в два раза больше длины \( BH \):
\(
BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot b \cdot \sin \alpha
\)

5. Площадь треугольника можно найти по формуле:
\(
S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}
\)
Подставляем значения основания \( BC = 2b \cdot \sin \alpha \) и высоты \( AH = b \cdot \cos \alpha \):
\(
S = \frac{1}{2} \cdot (2b \cdot \sin \alpha) \cdot (b \cdot \cos \alpha)
\)

6. Упрощаем выражение для площади:
\(
S = \frac{1}{2} \cdot 2b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha
\)

Ответ:
\( b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \)