ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Площадь равнобедренного треугольника с высотой h, проведенной к основанию, и углом при вершине В равна \(\frac{1}{2} \cdot h \cdot a\), где a — сторона треугольника.

Высота равнобедренного треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Основание каждого из них равно \( h \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \), а всё основание треугольника — \( 2h \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \). Площадь равна \( S = \frac{1}{2} \cdot 2h \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \cdot h = h^2 \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \).

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \), где \( BC \) — основание, \( AH \) — высота, проведённая к основанию, и угол при вершине \( A \) равен \( \beta \). Высота делит равнобедренный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника \( \triangle ABH \) и \( \triangle ACH \).

2. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABH \): угол \( \angle BAH = \frac{\beta}{2} \), так как высота делит угол при вершине пополам. По определению тангенса в прямоугольном треугольнике: \( \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH} \). Значит, \( BH = AH \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = h \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \).

3. Так как \( AH \) является медианой, то \( BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot h \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \).

4. Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \). Подставляем \( BC = 2h \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \):
\( S = \frac{1}{2} \cdot \left(2h \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) \cdot h = h^2 \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \).

5. Таким образом, площадь треугольника равна \( h^2 \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \).

Ответ: \( h^2 \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \)