ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобокой трапеции равна \(c = \frac{20}{3}\)  см и образует с основанием угол 60°. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Решение:
Площадь треугольника ABC: \(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{10}{3} = 100\) см²
Площадь трапеции ABCD: \(S_{\text{трапеция}} = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (20 + 20\sqrt{3}) \cdot \frac{10}{3} = 600\sqrt{3}\) см²

Из условия задачи:
BC+CD = AB+CD =40 \(\sqrt{3}\) см
Это означает, что сумма длин боковых сторон равна 40 — \(\sqrt{3}\). Мы знаем длину основания АВ = 20, следовательно, длина боковой стороны CD будет:
CD=40-\(\sqrt{3}\)-20=20-\(\sqrt{3}\)
Теперь переходим ко второму шагу. Рассмотрим треугольник АВС, где \(\angle\)ABC = 60°. Мы можем применить формулу для площади треугольника через основания и высоту, а также для вычисления стороны, перпендикулярной основанию. Мы знаем длину стороны АВ = 20 см и угол 60°, что позволяет вычислить высоту, которая будет равна:
h = AB \(\cdot\) sin(60°) = 20 \(\cdot\) sin(60°) = 20\(\cdot\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)=10\(\sqrt{3}\)
Площадь треугольника АВС теперь можно найти по формуле для площади треугольника: \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) AB \(\cdot\) h
На следующем шаге вычислим площадь трапеции ABCD. Площадь трапеции можно выразить через сумму оснований и высоту. Мы знаем, что:
S\(_\text{трапеции}\) = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) (AB+CD) \(\cdot\) h
Подставляем значения:
S\(_\text{трапеции}\) = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) (20+20\(\sqrt{3}\)) \(\cdot\) 10\(\sqrt{3}\)
Упростим выражение:
S\(_\text{трапеции}\) = 10 \(\cdot\) (1+\(\sqrt{3}\)) \(\cdot\) 10\(\sqrt{3}\) = 100 \(\cdot\) (1+\(\sqrt{3}\)) \(\cdot\) \(\sqrt{3}\)
Окончательно получаем:
S\(_\text{трапеции}\) = 600 \(\sqrt{3}\) см\(^2\)