ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8 см, а острый угол — 45°. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Так как трапеция вписывает окружность, то выполняется условие:
\(a + b = c + d\)

Где \(c = a\) и \(d = b\), то есть:
\(8 + b = b + b\)

Отсюда получаем:
\(b = 8\)

Подставляя значения в формулу для площади, получаем:
\(S = (8 + 8) \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128\) см²

Однако, учитывая угол 45°, находим большую боковую сторону:
\(b = a \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot \sqrt{2}\)

Теперь пересчитываем площадь:
\(S = (8 + 8 \cdot \sqrt{2}) \cdot 8 = (16 + 8 \cdot \sqrt{2}) / 2 = 32 + 32 \cdot \sqrt{2}\) см²

Площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, рассчитывается следующим образом:

1. Дано: меньшая боковая сторона \( a = 8 \) см и острый угол \( \alpha = 45^\circ \). Высота трапеции \( h \) равна длине меньшей боковой стороны, то есть \( h = a = 8 \) см.

2. В трапеции, в которую можно вписать окружность, выполняется условие: сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований. Обозначим основания как \( c \) и \( d \), где \( c = a \) и \( d = b \), где \( b \) — большая боковая сторона. Тогда мы имеем:

\(
a + b = c + d
\)

Подставляем значения:

\(
8 + b = 8 + b
\)

Это равенство выполняется, что подразумевает, что \( b \) также равно \( 8 \).

3. Площадь трапеции рассчитывается по формуле:

\(
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
\)

Подставим известные значения:

\(
S = \frac{(8 + 8) \cdot 8}{2} = \frac{16 \cdot 8}{2} = 64 \text{ см}^2.
\)

4. Учитывая угол \( 45^\circ \), длина большей боковой стороны \( b \) определяется как:

\(
b = a \cdot \sqrt{2}.
\)

Подставляем значение \( a = 8 \):

\(
b = 8 \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}.
\)

5. Теперь пересчитаем площадь трапеции с новым значением боковой стороны:

\(
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(8 + 8\sqrt{2}) \cdot 8}{2}.
\)

Умножаем:

\(
S = \frac{8 \cdot (8 + 8\sqrt{2})}{2} = \frac{64 + 64\sqrt{2}}{2} = 32 + 32\sqrt{2} \text{ см}^2.
\)

Окончательная площадь трапеции составляет \( 32 + 32\sqrt{2} \) см².