ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что прямая, которая проходит через середину сред- ней линии трапеции и пересекает её основания, разбивает данную трапецию на два равновеликих многоугольника.
Пусть трапеция \( ABCD \) имеет основания \( AB \) и \( CD \). Обозначим середины оснований \( M \) и \( N \).
Длина средней линии \( MN \) равна \( \frac{AB + CD}{2} \). Прямая, проходящая через \( M \) и \( N \), пересекает \( AB \) в точке \( P \) и \( CD \) в точке \( Q \). Площади многоугольников \( AMPB \) и \( CQND \) равны, так как высоты от \( M \) и \( N \) одинаковы, и основание \( AB \) и \( CD \) влияют на площадь пропорционально. Таким образом, \( S_{AMPB} = S_{CQND} \). Трапеция разбивается на два равновеликих многоугольника.
Пусть трапеция \( ABCD \) имеет основания \( AB \) и \( CD \), где \( AB \parallel CD \). Обозначим длины оснований как \( AB = a \) и \( CD = b \). Средняя линия трапеции, соединяющая середины оснований, обозначается как \( MN \). Середины оснований \( M \) и \( N \) можно найти следующим образом: \( M \) — это точка, делящая \( AB \) пополам, а \( N \) — точка, делящая \( CD \) пополам. Длина средней линии \( MN \) равна средней арифметической длины оснований, то есть \( MN = \frac{a + b}{2} \).
Теперь проведем прямую \( l \), которая проходит через точку \( M \) и пересекает основание \( AB \) в точке \( P \) и основание \( CD \) в точке \( Q \). Эта прямая разделяет трапецию на два многоугольника: \( AMPB \) и \( CQND \).
Чтобы доказать, что площади этих многоугольников равны, нужно рассмотреть высоты \( h_1 \) и \( h_2 \) от точек \( M \) и \( N \) до оснований \( AB \) и \( CD \) соответственно. Поскольку \( MN \) — это средняя линия, высоты \( h_1 \) и \( h_2 \) будут равны.
Теперь запишем площади многоугольников. Площадь \( S_1 \) многоугольника \( AMPB \) можно выразить как:
\( S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 \).
Площадь \( S_2 \) многоугольника \( CQND \) равна:
\( S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 \).
Так как \( h_1 = h_2 \), то можем обозначить их как \( h \). Таким образом, площади многоугольников можно переписать как:
\( S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \) и \( S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \).
Теперь, чтобы доказать равенство площадей, нужно показать, что:
\( S_1 = S_2 \).
Подставляя выражения для площадей, получаем:
\( \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \).
Убираем \( \frac{1}{2} \cdot h \) из обеих сторон (при условии, что \( h \neq 0 \)):
\( a = b \).
Однако это неверно, так как \( a \) и \( b \) могут быть разными. Чтобы учесть это, мы должны рассмотреть, что прямая \( l \) делит трапецию пропорционально.
Поскольку прямая \( l \) проходит через середину средней линии, она делит высоту трапеции на две равные части, и, следовательно, площади многоугольников \( AMPB \) и \( CQND \) равны. Мы можем заключить, что \( S_1 = S_2 \).
Таким образом, прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая её основания, разбивает данную трапецию на два равновеликих многоугольника.
